量子化学
函数的幂级数展开式
pHonE 发表于 2007-11-22 17:57:03
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通过前面的学习我们看到，幂级数不仅形式简单，而且有一些与多项式类似的性质。而且我们还发现有一些可以表示成幂级数。为此我们有了下面两个问题： |
；
，
，
，
那末f(x)在x=a处的泰勒级数将在区间I中收敛于f(x)。此时，我们把这个泰勒级数称为函数f(x)在区间I中的泰勒展开式.
其中c在0与x之间
揭去微积分的神秘面纱
pHonE 发表于 2007-11-22 16:38:51
http://www.tibet40.cn/chinese/zhuanti/xxsb/1264814.htm
——极限论的建立
微积分一诞生，就在力学、天文学中大现身手，能够轻而易举地解决许多本来认为束手无策的难题。后来，微积分又在更多的领域取得了丰硕的成果。人们公认微积分是17、18世纪数学所达到的最高成就，然而它的创始人牛顿和莱布尼茨对之所作的论证却并不清楚、很不严谨。无论是牛顿的瞬和流数，还是莱布尼茨的dx 和 ，都涉及到“无穷小量”，而在他们各自的论述中都没有给出确定的、一贯的定义。在微积分的推导和运算过程中，常常是先用无穷小量作为分母进行除法，然后又把无穷小量当作零，以消除那些包含有它的项。那么“无穷小量”究竟是零还是非零呢？如果它是零，怎么能用它去作除数呢？如果它不是零，又怎么能把包含它的那些项消除掉呢？这种逻辑上的矛盾，牛顿和莱布尼茨都意识到了。牛顿曾用有限差值的最初比和最终比来说明流数的意义，但是当差值还未达到零时，其比值不是最终的，而当差值达到零时，它们的比就成为 ，怎样理解这样的最终比呢？实在令人困惑。牛顿承认他对自己的方法只作出“简略的说明，而不是正确的论证。”莱布尼茨曾把无穷小量形容为一种“理想的量”，但正如一些数学家所说：“与其说是一种说明，还不如说是一个谜。”
奇怪的是，微积分自身存在着明显的逻辑混乱，然而在实际应用中则是卓有成效的得力工具。这样，微积分就具有了“神秘性”。起初，“神秘性”集中表现在对于“无穷小量”这个概念的理解上，并因而受到了各种人的攻击。数学家们不能容忍这一新方法的理论本身是如此的含糊不清乃至荒谬绝伦。法国数学家洛尔称微积分为“巧妙的谬论的汇集”；著名思想家伏尔泰说微积分是“精确的计算和度量某种无从想象其存在的东西的艺术”。在一片疑难和责问声中，以英国主教兼哲学家贝克莱的谴责最为强烈，他讥讽无穷小量是“逝去的量的鬼魂”，说微积分包含“大量的空虚、黑暗和混乱”，是“分明的诡辩”。
马克思曾对微积分作过一番历史考察，他把这一时期称为“神秘的微积分”时期，并有这样的评论：“于是，人们自己相信了新发现的算法的神秘性。这种算法肯定是通过不正确的数学途径得出了正确的（而且在几何应用上是惊人的）结果。人们就这样把自己神秘化了，对这新发现的评价更高了，使一群旧式正统派数学家更加恼怒，并且激起了敌对的叫嚣，这种叫嚣甚至在数学界以外产生了反响，而为新事物开拓道路，这是必然的。”
微积分的逻辑缺陷和人们的猛烈攻击，激厉数学家们为消除微积分的神秘性，亦即为微积分建立合理的理论基础而努力。18世纪，在这方面作出贡献的主要代表人物是达朗贝尔、欧拉和拉格朗日。可是“无穷小量”的本质尚未弄明白，无穷级数的“和”的问题又日渐突出了。在微积分里，一个典型的基本算法就是把无穷多项相加，叫做求无穷级数之和。在初等数学中，有限多项相加总有确定的和。而无穷多项相加，是加不完的，什么是无穷级数的“和”是不清楚的。在很长一段时间里，人们习惯地把有限多项相加的运算规则照搬到无穷级数中，虽然也解决过许多问题，但有时竟出现了像1/2=0这样的荒谬结果。
进入19世纪以后，随着微积分应用的更加广泛和深入，遇到的数量关系也更加复杂，很多问题，例如，对于热传导现象的研究，就已超出了早年力学那样的直观性。在这种情况下，要求有明确的概念、合乎逻辑的推理和运算法则，就显得更加重要和迫切了。事实上，微积分作为变量数学，是运用“无穷”来描画和研究运动和变化过程，获得了成功的，却长期没有对有关“无穷”的概念给出正确的阐述，甚至导致逻辑上的混乱，微积分的神秘性正是由此而来，而这也正是微积分的理论基础所要解决的问题。
数学家们经过一百多年的艰苦探索历程，终于在前人所积累的大量成果（包括许多失败的尝试）的基础上，建立起微积分的理论基础€梹椉蘼邸Ｔ诳挛鳎?789―1857）于1821年出版的《分析教程》中，开始有了极限概念的基本明确的叙述，并以极限概念为基础，对“无穷小量”、无穷级数的“和”等概念给出了比较明确的定义。例如，从极限的观点看，“无穷小量”就是极限为零的变量，在变化过程中，它可以是“非零”，但它的变化趋向是“零”，无限地接近于“零”。极限论正是从变化趋向上说明了“无穷小量”与“零”的内在联系，从而澄清了逻辑上的混乱，撕下了早期微积分的神秘面纱。后来，经过波尔察诺、魏尔斯特拉斯、戴德金、康托等人的卓越工作，又进一步把极限论建立在严格的实数理论基础上，并且形成了描述极限过程的ε-δ语言。微积分理论基础的严密化，使微积分跃进和扩展为现代数学的重要领域€梹検Х治觥?
微积分的发展历史告诉我们，一门学科不能只停留在感性阶段，如果不上升到理性，不具备坚实的理论基础，不但其应用受到限制，学科本身也难以继续发展。然而在上一世纪我国的多次运动中，在“数学是唯心主义的世袭领地”这种错误思想影响下，极限论和ε-δ语言屡遭批判，屡次被撵出课堂。“文革”之后，一位教师感慨地说：“当我做学生的时候，也曾起劲地参加批判，但毕业以后，做了几年教学工作，我体会到过去批判的东西其实是正确的、有重要意义的。可是当我向学生讲述这些道理的时候，我自己却又成为学生们的批判对象了。”
恩格斯早就指出：“一个民族想要站在科学的最高峰，就一刻也不能没有理论思维。”希望我国的青年朋友们要深刻地理解这句话的现实意义。
笔记本内存安装全程图解
pHonE 发表于 2007-11-22 16:35:49
http://yingkesong.com/2006/idc/ShowArticle.asp?ArticleID=17959
工具准备：螺丝刀与螺丝盒
很多时候，我们只需要准备一把磁性十字螺丝刀就够了，可是如惠普 NC4000 系列等机型，需要拆卸键盘才能扩展内存，这时还需要一把六角螺丝刀（小知识：通常拆卸笔记本硬盘也需要六角螺丝刀），如下图所示：
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准备好螺丝刀，还要找一个金属器皿。比如润喉糖盒子，眼镜盒等，装拆下来的螺丝，以免搞丢。接着最好是将身上的静电释放掉，一般可以洗手，用手接触金属自来水管、暖气片，金属门窗以达到目的。虽然这步常常被乎略，但是为了保护娇贵的集成电路芯片，释放静电非常必要。尤其是在北方冬天，风比较大，空气干燥容易积累静电，那么很有可能你身上积累的静电的瞬间放电就有可能将内存条击坏。最后应该找一块软布、麂皮、大张纸巾等垫在台面上，将笔记本底朝上的放置，注意不要划伤笔记本的顶盖。
然后就要动用合适的螺丝刀将后盖开启，就可以看到裸露的内存插槽。
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这类型的笔记本升级内存最为简单，在笔记本底部有一盖板，下面就是内存插槽的位置，这时你要做的就是，用螺丝刀拧开盖板，如上图
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| 从这个角度我们可以很清楚的看到内存所成的 30 度角。 |
将笔记本内存对准缺口卡入齿位，两个手指捏住内存两边凹陷处成 30 度夹角将笔记本内存送入内存槽。
然后稍微用力按压，将内存推入卡槽中，当听到十分清脆的“咔哒”声。这就表明大功告成，内存已经被安放好了。
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如上图，内存已经被插入内存槽中，两边的卡扣已经稳稳的将内存条固定，检查一下是否大部分的内存触点都已经整齐的没入内存插槽中，没有松动现象。您的笔记本已经完成了内存扩展工序了。
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| 内存升级前照片 |
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| 内存升级后照片 |
最后当然是将盖子合上，拧好螺丝开机检测内存是否正常运作。如果一切正常那么恭喜，如果系统并不能识别增添的内存则只能拆下内存，调换插槽再作一次。情况依旧则要考虑是否存在兼容性问题以及内存条本身是否存在问题。内存检查后文解答疑难部分会具体分析了。
拆卸键盘升级内存：
这种机型的内存升级稍微复杂，需要拆卸键盘。首先还是消静电，将笔记本在软布上翻过来，注意底部的螺钉寻找标记类似内存和键盘的图案拆下。
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接下来再将笔记本翻过来打开，屏幕打开，这时候不同的笔记本需要不同的拆卸方式，比如三星 P10 就需要用一字螺丝刀伸进键盘周围标注了按压拆卸的几个点，压下簧片。惠普 NC4000 就需要把紧挨屏幕的按键面板小心的用指甲用力抠出来。然后小心的将键盘四周的卡扣退出。这就可以将键盘整个提起，不过千万不要用力将键盘拉出。还要注意后面的排线，否则可能导致键盘的损坏。
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接下来的步骤和上面一样，依旧是将内存成 45 度角斜推入内存槽。
将联接线从接线口中送出，我们这时候就可以将键盘完全分离而放在一边。同时我们也见到了空置的内存插槽。
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很轻松的，我们就能将内存条安置好。最后也就是将笔记本键盘再次安装上与开机待检了。 所以说只要动手，任何事情都不会太困难。
第三类，拆卸腕托升级内存
ThinkPad T60 系列是典型需要拆下腕托才能安装内存的机器
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先要拆卸下几个有内存标记的腕托固定螺钉和一个键盘标记的键盘固定螺钉
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注意键盘下面的铜色排线，千万不要暴力拉断。拉断是没法修复的，只能整个键盘更换。
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层叠的插入两根内存模组
马克思数学手稿：宝贵的历史文献
pHonE 发表于 2007-11-22 12:13:23
http://www.51lunwen.com/details/lw200709041225471791.html
千年伟人马克思
马克思(1818—1883)的伟大贡献，正像恩格斯在马克思墓前演讲中所说：达尔文发现 了有机界的发展规律，马克思发现了人类历史的发展规律，揭示了经济基础和上层建筑 的相互关系；在对资本主义生产方式的深入研究中，他发现了“剩余价值”，从而获得 了开启社会奥秘的钥匙。[1](P574—575)马克思的《资本论》至今还在许多国家重印发 行，显示出马克思主义的强大生命力。在西方著名大学中普遍设有马克思主义课程。
在20世纪与21世纪之交，在告别人类纪元第二个千年，迎接第三个千年到来之际，199 9年，英国剑桥大学文理学院的教授们发起了一个评选“千年第一伟人”活动，征询、 推选和投票的结果是：马克思第一，爱因斯坦第二。随后，英国广播公司(BBC)在国际 互联网上进行全球投票评选第二个千年的前10名思想家，其结果为：马克思第一，爱因 斯坦第二。接着，路透社又邀请各界名人再行评选时，爱因斯坦以一票之多领先于甘地 和马克思。依据这一系列的评选结果，人们公认马克思和爱因斯坦(1879—1955)应并列 为千年第一伟人。
凡读过马克思的著作，特别是《资本论》的人，都为马克思的学术研究方法及其学术 成就而折服。他对所研究的问题，不但拥有丰富的实际资料，而且占有大量的文献资料 ，在理论论述中，不但处处闪耀着深刻的思想火花，尤其渗透着那种一步一步深入进去 的强有力的逻辑力量。北京大学的江泽涵教授是我国著名的前辈数学家，我国拓扑学这 门学科的奠基人，也是马克思《数学手稿》的最主要译者，他读了《资本论》第一卷以 后，深有感慨地说：“马克思研究资本主义的方法同我们研究数学的方法是一样的，《 资本论》的论证方法同我们的数学论证方法一样，都是严密地从逻辑上一步步推理和展 开，真是无懈可击，令人信服。”《资本论》作为研究早期资本主义社会的经典著作， 展显为一个逻辑严密的理论体系，正因为其研究方法之缜密而至今仍然得到全世界学者 们的高度赞赏。
马克思数学手稿的具体内容
恩格斯称马克思为“科学巨匠”。他说，马克思研究的科学领域是很多的，而且对任 何一个领域都不是肤浅地研究的，甚至在数学领域也有独到的发现。[1](P574—575)
马克思一生酷爱数学，从19世纪40年代起，直到逝世前不久，数十年如一日地利用闲 暇时间学习和钻研数学，给我们留下了近千页数学手稿，其中有读书摘要、心得笔记和 述评，以及一些研究论文的草稿。20世纪30年代以后，马克思的数学手稿和其他手稿一 起，一直保存在荷兰首都阿姆斯特丹的国际社会史研究所的档案馆中。
数学研究紧密结合经济学研究
起初，马克思在与恩格斯和其他人的通信中讨论初等数学问题居多。例如，他在1864 年的一封信中有关于数字计算的议论：“可以看出：不太大的计算，例如在家庭开支和 商业中，从来不用数字而只用石子和其他类似的标记在算盘上进行。在这种算盘上定出 几条平行线，同样几个石子或其他显著的标记在第一行表示几个，在第二行表示几十， 在第三行表示几百，在第四行表示几千，余类推。这种算盘几乎整个中世纪都曾使用， 直到今天中国人还在使用。至于更大一些的数学计算，则在有这种需要之前古罗马人就 已有乘法表或毕达哥拉斯表，诚然，这种表还很不方便，还很繁琐。因为这种表一部分 是用特殊符号，一部分是用希腊字母(后用罗马字母)编制成的。……在作很大的计算时 ，旧方法造成不可克服的障碍，这一点从杰出的数学家阿基米得所变的戏法中就可以看 出来。”[2](P650)
1864年5月30日，恩格斯在给马克思的信中写道：“看了你那本弗朗克尔的书，我钻到 算术中去了；……以初等方式来陈述诸如根、幂、级数、对数之类的东西是否方便。不 管怎样好地利用数字例题来说明，我总觉得这里只限于用数字，不如用a + b作简单的 代数说明来得清楚，这是因为用一般的代数式子更为简单明了，而且这里不用一般的代 数式子也是不行的。”[3](P357)
马克思关于数学的笔记和他研究政治经济学的材料有紧密的联系。在1846年的一个经 济学笔记本中，最后几页全是各种代数运算；在以后的许多笔记本中也都记有数学公式 和图形，还有整页整页的算草；在为撰写《政治经济学批判大纲》准备材料的笔记本中 他画了一些几何图形，记录了关于分数指数和对数的公式。1858年1月11日马克思在致 恩格斯的信中说：“在制定政治经济学原理时，计算的错误大大地阻碍了我，失望之余 ，只好重新坐下来把代数迅速地温习一遍。算术我一向很差，不过间接地用代数方法， 我很快又会计算正确的。”[4](P247)马克思曾为自己能把高等数学的某些公式用于经 济学的研究而深感高兴。1868年1月8日马克思写信给恩格斯谈到工资问题的研究时，他 说：“工资第一次被描写为隐藏在它后面的一种关系的不合理的表现形式，这一点通过 工资的两种形式即计时工资和计件工资得到了确切的说明(在高等数学中常常可以找到 这样的公式，这对我很有帮助)。”[5](P12)
看来，马克思的数学兴趣与他希望把数学运用于经济学研究有关。在1873年5月31日给 恩格斯的信中谈到经济危机的研究时，他说：“为了分析危机，我不止一次地想计算出 这些作为不规则曲线的升和降，并曾想用数学公式从中得出危机的主要规律(而且现在 我还认为，如有足够的经过检验的材料，这是可能的)。”[6](P87)在《资本论》中我 们也能看到数学的运用，据拉法格回忆，马克思曾经强调说：一门科学只有当它达到了 能够成功地运用数学时，才算真正发展了。[7](P8)我理解，马克思这里所说的运用数 学，不仅仅是运用数学的计算方法，而且也要运用数学的思维方法和论证方法。
对微积分的学习、思索和历史考察
19世纪60年代以后，马克思陆续阅读了一大批微积分方面的书籍，其中有布沙拉(J•L •Boucharlat)、辛德(J•Hind)、拉库阿(S•F•Lacroix)、霍尔(G•Hall)等人各自编 写的微积分教科书，还有牛顿有关的数学原著等等，写下了详细的读书笔记。马克思对 这些教科书进行比较，开始了自己对于微分学中一些问题的独立的思考。于1881年前后 ，马克思撰写了关于微分学的历史发展进程、论导函数概念、论微分以及关于泰勒定理 等问题的研究草稿，而且对于这些问题都曾写过多遍草稿，例如，关于泰勒定理留下了 八份草稿。
马克思把微分学看作科学上的一种新发现、新事物，考察它是怎样产生的，产生以后 遇到一些什么困难，经历了怎样的曲折发展。马克思对微积分有过一段生动的而又富有 哲理的描述：“人们自己相信了新发现的算法的神秘性。这种算法通过肯定是不正确的 数学途径得出了正确的(尤其在几何应用上是惊人的)结果。人们就这样把自己神秘化了 ，对这新发现评价更高了，使一群旧式正统派数学家更加恼怒，并且激起了敌对的叫嚣 ，这种叫嚣甚至在数学界以外产生了反响，而为新事物开拓道路，这是必然的。”[8]( P88)
马克思把从牛顿(1642—1727)、莱布尼茨(1646—1716)创建微分学到拉格朗日(J.L.Lagrange 1736—1813)的发展，约一百多年的发展过程分为三个阶段，分别称为： “神秘 的微分学”、“理性的微分学”、“纯代数的微分学”。在牛顿和莱布尼茨时期 ，新生的微积分很快在应用上获得了惊人的成功，但是从旧的传统数学看来，这种新算 法，比如微分过程，正是通过不正确的数学途径得到正确的结果的。在同一个公式的推 导过程中Δx和dx既作为有限的量，却又消失为零，在逻辑上显示出矛盾；时为 什么能有确定的值，等等，都不能从理论上给出合理的解释。人们认为微分学是神秘的 。牛顿和莱布尼茨，以及后继者们都希望给微分学找到合乎逻辑的说明，他们为此付出 了很大的努力。以达朗贝尔(J•L•R•D’Alembert，1717-1783)为代表的“理性的微分 学”和以拉格朗日为代表的“纯代数的微分学”，都是这种努力的一定阶段的成果。马 克思指出：“这里，像在别处一样，给科学撕下神秘的面纱是重要的。”[8](P139)
马克思力图运用辩证法观点去分析微分学的困难。他认为“理解微分运算时的全部困 难”，“正像理解否定之否定本身”一样，要把“否定”理解为发展的环节，并且要从 量和质的统一看待量的变化。在微分过程中，在量的否定，比如量的消失中，看到其间 仍保存着特定的质的关系，即y对x的函数关系所制约的质的关系。因此，当增量Δx变 为零，Δy也变为零，时能具有特定的值，即导函数。马克思说，要把握的真正含义，“唯一的困难是在逐渐消失的量之间确定一个比的这种辩证的见解。 ”[9](P16)
马克思以比较简单的多项式函数的微分过程为例，参照比较了多种教科书，运用上述 观点，选择了一种具体的推导步骤以说明这种函数的微分过程的合理性，从而说明微分 学的神秘性是可以摆脱的。这样的内容，现在看来固然是很浅显的，也不足以说明一般 函数的微分过程。但这也是马克思为撕下微分学的神秘面纱所做的一份历史性的努力。
马克思曾劝说恩格斯研究微积分。他在1863年7月6日给恩格斯的信中说：“有空时我 研究微积分。顺便说说，我有许多关于这方面的书籍，如果你愿意研究，我准备寄给你 一本。我认为这对于你的军事研究几乎是必不可缺的。况且，这个数学部门(仅就技术 方面而言)，例如同高等代数比起来，要容易得多。除了普通代数和三角以外，并不需 要先具备什么知识，但是必须对圆锥曲线有一个一般的了解。”[2](P357)
马克思对高等数学的兴趣和钻研影响和带动了恩格斯，1865年以后，他们在通信中讨 论得更多的则是微积分方面的问题了。马克思在一封给恩格斯的信的附件中说：“全部 微分学本来就是求任意一条曲线上的任何一点的切线。我就想用这个例子来给你说明问 题的实质。”马克思是用求抛物线y[2] = ax上某一点m的切线的例子，认真画了图，向 恩格斯作详细讲解的。[3](P168—169)
1881年马克思把一份“论导数概念”的手稿和一份“论微分”手稿誊抄清楚，先后寄 给了恩格斯。恩格斯认真阅读了这些手稿，于1881年8月18日给马克思写了一封很长的 讨论导函数的回信，信中说：“这件事引起我极大的兴趣，以致我不仅考虑了一整天， 而且做梦也在考虑它：昨天晚上我梦见我把自己的领扣交给一个青年人去求微分，而他 拿着领扣溜掉了。”[10](P21—23)
在马克思的影响下，恩格斯对微积分也越来越有兴趣了，他在《反杜林论》、《自然 辩证法》等哲学著作中，不但大段大段地谈论微积分，精辟地分析高等数学与初等数学 的区别，而且还有对于微积分的高得不能再高的赞誉：“在一切理论成就中，未必再有 什么像十七世纪下半叶微积分的发明那样看作人类精神的最高胜利了。如果在某个地方 我们看到人类精神的纯粹的和唯一的功绩，那就正在这里。”[11](P611)
从数学中学习辩证法
马克思和恩格斯都非常明确地认为，数学是建立辩证唯物主义哲学的一个重要基础。 恩格斯指出：“要确立辩证的同时又是唯物主义的自然观，需要具备数学和自然科学的 知识。”[12](第三版序言)
在旧哲学中，黑格尔是论述数学比较多的。恩格斯曾经指出：“黑格尔的数学知识极 为丰富，甚至他的任何一个学生都没有能力把他遗留下来的大量数学手稿整理出版。据 我所知，对数学和哲学了解到足以胜任这一工作的唯一的人，就是马克思。”[3](P471 )马克思忙于自己的研究和革命活动，并没有承担这一工作。不过，他在数学手稿中把 微分学的发展同德国唯心主义哲学的发展联系起来，作了有趣的对比。当他探讨牛顿、 莱布尼茨与他们的后继者的关系时，他说：“正像这样，费希特继承康德，谢林继承费 希特，黑格尔继承谢林，无论费希特、谢林、黑格尔都没有研究过康德的一般基础，即 唯心主义本身；否则他们就不能进一步发展康德的唯心主义。”[8](P88)
马克思把研究数学作为丰富唯物辩证法的一个源泉。他通过自己对数学的多年钻研， 深有体会地认为，在高等数学中，他找到了最符合逻辑的同时又是形式最简单的辩证运 动。在马克思的数学手稿中能够看到这方面的记述。
数学手稿的出版、翻译和人们的看法
马克思曾经打算把自己对数学的一些研究成果写成正式论文，但他反复改写了多遍草 稿，却没有来得及写完。他生前曾嘱咐小女儿爱琳娜：“要她和恩格斯一起处理他的全 部文稿，并关心出版那些应该出版的东西，特别是第二卷(按：指《资本论》第二卷)和 一些数学著作。”[13](P42)马克思逝世以后，恩格斯也曾希望把自己在自然辩证法方 面的研究成果同马克思遗留下来的数学手稿一齐发表。[11](第三版序言)但是由于他肩 负着整理出版马克思的最重要的著作——《资本论》第二卷、第三卷的重任，上述愿望 没有能够实现。
马克思关于微分学的几篇论文草稿和一些札记于1933年译成俄文与读者见面，即在纪 念马克思逝世五十周年的时候才第一次发表在苏联的理论刊物《在马克思主义旗帜下》 ，随后收入文集《马克思主义与自然科学》。1968年在前苏联出版了马克思数学手稿的 比较完全的德俄对照本[14]，书中对各个时期的手稿写了较详细的记述。此外，对马克 思的数学手稿，还陆续出版过内容和编排不一的德文本、日文本、意大利文本等等。在 国际学术界引起了学者们的重视和兴趣。如日本的玉木美彦、今野武雄早就撰文介绍过 马克思数学手稿的内容。1977年在西德召开的国际数学史会议上，美国学者肯尼迪(H• C•Kennedy)作了题为《马克思与微积分基础》的学术报告。美国著名数学史家斯特洛 依克(D•J•Struik)1978年在《数学评论》杂志上写文章介绍了这篇报告。前几年，还 有美国科学史方面的研究生在研究马克思数学手稿的传播和影响。
在我国，早从1949年起，许默夫就发表过关于马克思数学手稿的文章(注：许默夫的有 关马克思数学手稿的几篇文章，先后发表在《东北日报》(1949年5月5日)、《自然科学 》(1951年第1卷)、《数学通报》(1958年第12期)、《新科学》(1955年第2期)等报刊上 。)，后来有些学者从日文本或俄文本将部分内容翻译过来。1973年1月北京大学成立了马克思数学手稿编译组，依据苏联1968年出版的德俄对照本进行翻译。为了翻译准确， 为了能从德文原文直接译成中文，北京大学于1974年通过外交途径从荷兰购得全部数学 手稿原件的复印照片，将其中关于微积分的大部分论述和部分初等数学札记翻译成中文 ，编排成书，由人民出版社于1975年正式出版。(注：1973年1月，当时马克思恩格斯列 宁著作编译局的负责人王惠德同志把一本《马克思数学手稿》(1968年的德俄对照本， 是一位瑞士记者送给他的)交给了孙小礼，建议由北京大学来组织翻译。北大欣然接受 这一建议，立即成立了北京大学马克思数学手稿编译组，由邓东皋、孙小礼具体负责， 动员了数学系、西语系、俄语系、哲学系的教师参加翻译工作，德文方面有江泽涵、姚 保琮、冷生明、丁同仁等人，俄文方面有吴文达、黄敦、郭仲衡、鲍良骏、颜品中等人 。1974年3月译出了马克思关于微积分的大部分论述，请于光远、胡世华、陆汝钤和编 译局杨彦君等同志帮助校对后，于1974年5月由北京大学学报印出专刊：马克思数学手 稿(试译本)。1974年冬购得马克思数学手稿原件的照片后，由谙悉德文的江泽涵、姚保 琮两位教授仔细辨认马克思原稿手迹，同冷生明、丁同仁、邓东皋等人反复讨论推敲， 对原来的译文进行核校、修改和补充。最后又请北京师范大学的张禾瑞教授、蒋硕民教 授对全部译稿从德文作了详细校订之后，才由人民出版社于1975年7月出版了马克思的 《数学手稿》。)
两种极端的看法
马克思《数学手稿》一书于1975年在我国编译出版以后，出现了两种极端的看法。一 是过分地在数学上抬高马克思，说马克思为微积分奠定了理论基础，把19世纪许多卓越 数学家的重要成就都视为形而上学，惟有马克思的论述才是符合辩证法的，甚至要在教 学中用马克思《数学手稿》代替微积分教材。这种作法显然是极其错误的，既违背马克 思的本意，也不符合数学发展的实际，对于高等数学教学只能产生有害的影响。另一种 极端的看法则认为马克思根本不懂数学，至少不懂高等数学，写于19世纪的《数学手稿 》没有什么学术价值，不值得翻译出版。这种完全否定的态度也是缺乏历史分析、不符 合实际的。
由于这两种看法在不同程度上一直延续到现在，所以，我感到把马克思的《数学手稿 》放在当时的历史条件下，根据其具体内容，作出实事求是的恰当的评价是必要的，有 现实意义的。
数学手稿：一份宝贵的历史文献
通过阅读马克思数学手稿，以及马克思的著作和通信中有关数学的论述，联系到几十 年来马克思数学手稿在我国的翻译、介绍、出版和影响，我特撰写本文谈谈自己对马克 思数学手稿的理解和看法，就教于对此有兴趣的朋友们，也作为对马克思逝世120周年 的纪念。
读读马克思数学手稿，就感到马克思是深钻到数学中去了，确如恩格斯所说：“马克 思是精通数学的。”[12]当然，所谓“精通”，不能要求马克思通晓当时数学的全部， 正好像现在堪称“精通”数学的专家也不可能对当前数学的全部内容都了如指掌一样。 事实上，正如恩格斯所说：“对于自然科学，我们只能作零星的、时停时续的、片断的 研究”，而且“自然科学本身也正处在如此巨大的变革过程中，以至那些即使有全部空 闲时间来从事于此的人，也很难跟踪不失”[12]。马克思生前还没有来得及跟踪19世纪 数学分析方面的重要成就，还没有阅读当时已经出版的，像哥西的《分析教程》(1821 年初版)那样的一些重要著作。由于马克思还不了解微积分经过波尔察诺(B.Bolzano，1 781-1848)、哥西(A.L.Cauchy，1789-1857)、外尔斯特拉斯(K.W.T.Weierstrass，1815 -1897)等数学家的努力以后所取得的逐步“完善”的形式，因而他也不可能运用极限理 论做出像后来人们所理解的那样来阐明微积分的本质。
马克思不是专职数学家，也没有对数学本身做出重大建树，他的数学手稿之所以受到 人们重视，首先，因为他是人类历史上的伟大思想家，而他又在数学这一园地上数十年 如一日地执着地辛勤耕耘过，这一事迹是人类文化史上所罕见的，是历史上任何一位思 想家都难以相比的。现在我们读到的数学手稿，就是他以自己的独特方式辛勤耕耘的历 史足迹，这足迹能够保留下来，为世人所知，是令人感到宝贵的，而且值得加以研究和 回味，从中获得有益的启迪。
其次，在马克思数学手稿中，确有至今还在闪光的思想和见解。比如马克思在考察了 微分学的具体历史发展过程以后，曾作出这样的论断：“新事物和旧事物之间的真实的 从而是最简单的联系，总是在新事物自身取得完善的形式后才被发现。”[8](P144)这 是对新旧事物关系的哲理性概括，也是对人的认识规律的哲理性概括，对人们的认识进 展很有启发。
第三，在马克思主义理论中，非常注重人，尤其注重人的全面发展。马克思对自由时 间或闲暇时间，也就是非劳动时间的重要性有深刻的论述，他把自由时间看作财富，把 休闲看作人的生活的重要组成部分。那么，马克思自己怎样度过闲暇时间呢?据马克思 的女婿拉法格回忆：“除了读诗歌和小说以外，马克思还有一种独特的精神休养方法， 这就是他十分喜爱的数学。代数甚至给他以精神上的安慰；在他那惊涛骇浪的一生中有 些最痛苦的时期，他总是以此自慰。”[7](P8)
马克思曾对恩格斯说：“在工作之余——当然不能老是写作——我就搞搞微分学。我没有耐心再去读别的东西。任何其他读物总是把我赶回写字台来。”[3](P124) 马克思对数学的特殊爱好，使他在任何情况下都能使自己沉浸于数学之中。当马克思的 夫人燕妮身患重病——肝癌的时候，他给恩格斯写信说：“写文章现在对我来说几乎是 不可能了。我能用来使心灵保持必要平静的唯一的事情，就是数学。”[2](P113)他的 关于微分学的研究草稿，正是在1881年燕妮病危的那些痛苦的日子里写作的。
在马克思的数学手稿中，能看到很多幽默俏皮的语言和生动有趣的比喻。可以想见， 数学曾是马克思寻求欢乐和安慰的休闲王国，在马克思的一生中有许多时日是在这里愉 快地度过的，上千页的数学手稿就是马克思这种独特的精神休养法的真实记录。
综上所述，我认为，马克思数学手稿是一份宝贵的有特殊价值的历史文献。
收稿日期：2002-12-28
【参考文献】
[1]马克思恩格斯选集：第3卷[M].北京：人民出版社，1971.
[2]马克思恩格斯全集：第30卷[M].北京：人民出版社，1975.
[3]马克思恩格斯全集：第31卷[M].北京：人民出版社，1972.
[4]马克思恩格斯全集：第29卷[M].北京：人民出版社，1972.
[5]马克思恩格斯全集：第32卷[M].北京：人民出版社，1971.
[6]马克思恩格斯全集：第33卷[M].北京：人民出版社，1973.
[7][法]拉法格.回忆马克思[M].北京：人民出版社，1954.
[8]马克思.数学手稿[M].北京：人民出版社，1975.
[9]马克思数学手稿[J].北京大学学报专刊，1974.
[10]马克思恩格斯全集：第35卷[M].北京：人民出版社，1971.
[11]马克思恩格斯全集：第20卷[M].北京：人民出版社，1971.
[12]恩格斯.反杜林论[M].北京：人民出版社，1971.
[13]马克思恩格斯全集：第36卷[M].北京：人民出版社，1975.
[14]К．МАРКС МАТЕМАТИЧЕСКИЕ РУКОПИСИ，ИЗ Д АТЕЛЪСТВО ＜НАУКА＞ ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИ ЗИ КО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ，МОСКВА，1 968.
外汇Forex新手上路
pHonE 发表于 2007-11-22 10:07:05
http://forex.com/cns/index.html
http://fxexpert.blog.hexun.com/4310582_d.html
我们将为您提供涉及如何在FOREX市场交易的入门讲解。如果您觉得该讲解没意思并充斥着老生常谈的东西，则请您考虑到我们的意图。该讲解的主要目的 —— 解释清楚FOREX市场的运行原则，以便未接触过外汇市场的人也能了解该讲解的意义。
我们先谈谈交易所发展的历史。
1．交易所
交易所有几百年的历史。一千年前在日本出现了第一个交易所。那些交易所是所谓的大米交易所。如果比较今天的交易所和当时交易所我们肯定会发现一些区别。因为那时候日本的交易所很象普通买卖大米的市场。但是在现代化的交易所运行中也利用几百年前所积累的经验。
现在世界上所有的交易所都可以分成三种交易所：
商品交易所。本名称也表明这是专门买卖商品的交易所。这种交易所对我们有什么教学意义呢？在这里我们可以分出来在任何的交易所上所交易的商品的几个特点。 也就是说在交易所上所买卖的商品必须具有如下的特点∶
A) 本商品的生产量应该很大并且其需求也应该相当大。换句说法本商品存在大规模的供给和需求。
B) 本商品必须具有明确的统一标准的特点，并且所有的买卖本商品的人都会知道此特点，比方说黄金的纯度。
C) 本商品可以被分成一定标准的数量，本数量的大小会提前被指定。本数量的商品叫做交易单位，就是说交易单位是在交易所可成交的商品最低数量。
D) 在交易所上一个交易单位数量的商品价格不能象在商店一样那么稳定，此价格根据供求关系总会发生变化。
股票交易所。在股票交易所上被交易的对象是公司或企业的股票。股票是一张纸，证明其持有人在企业中有股份的证件，即他是本企业的所有者之一。
这种交易所对我们有教学意义因为其交易的对象是抽象的。您无法把它吃掉或灌到汽车油箱里。人们为何买股票？原因很多。某个人愿意买某个公司的股票。某个人认为本公司的利润将会增加，他买本公司股票因为他计划本公司会给他付出利润的部分也会增加。某些人买股票因为他们认为再过一段时间本股票的价格会上涨，这样的话他以低价买进以高价卖出，将价差放进自己的口袋里。
市场上这样的行为叫做投机。投机人不用别人的帮助，而是利用自己的智力在市场上获利。
外汇交易所。该讲解中第三种交易市场是国际银行间的外汇交易市场，简称为FOREX。这个单词有什么含义呢？FOREX 或FX 是英文的 “Foreign Exchange”（外汇兑换）的 简称。任何国家在换汇处的看板上都有这两个单词。
让我们在研究FOREX 市场之前先来谈谈该市场的发展历史。
2．FOREX市场历史
这是世界上最年轻的市场，其历史要比股票、商品市场短得多。2000年它才满29岁，因为该市场于1971年出现。
外汇市场怎么出现得那么晚？为了回答这个问题就先让我们回忆一下1944年。第二次世界大战快要结束时大部分人都清楚：德国及其盟军即将战败，因此需要开始考虑战争结束后如何生活的问题。于是1944年战胜国代表在美国疗养城市布雷顿森林召开会议。
那次会议的目的是什么？参加会议的人都很清楚：战争结束后经济法律会代替战时法律。美国在第二次世界大战时期所遇到的困难最小（和在第一次世界大战时期一样），而经济被严重破坏的欧洲将会需要食品及其他当地匮乏的商品，并且因为当时在欧洲没有相关设备也就无法生产任何商品。而美国有这些商品，所以欧洲人将会向美国人购买这一切。为了在美国买到这些东西需要美元。那么这种情况下美元会供不应求，其汇率也会暴涨。这对任何一方都不是很有利，包括美国。如果美元汇率暴涨，则美国人会遇到在国内购买商品时的困难 -- 商品的价格会很高同时在美国本土还有可能出现生产过剩的危机。所以为了避免这样的危机发生，与会者采取了一系列相关措施并签订了所谓的“布雷顿森林协议”。
该体系主要有以下几点：第一，签约国同意盯住美元对黄金的比率并确定了一盎司黄金兑换35美元的价格，第二，固定了英镑和其他欧洲货币对美元的汇率。
这些措施达到一定的目的并帮助避免战争后出现的经济危机还对各国的经济发展起到了一定的促进作用。
但是一段时间过后固定的货币汇率开始对经济发展起了刹车作用。被控制的货币汇率已经远远不符合实际情况的需要。因此布雷顿森林货币体系终于于1971年被废止，各主要工业国的货币汇率开始自由浮动。从那时起货币汇率由供给量和需求量来调控。这就是FOREX市场出现的历史，它包括了世界上所有外汇兑换业务。
应该指出的是这个“婴儿”成长的速度特别快。在不满30年的时间内该市场取得了空前的成绩。目前这是最大的国际市场。该市场的日均交易量达到1-3万亿美元，也就是说相当于1-3个美国年度预算的规模。为了您能够与其他市场做个比较，我们告诉您：美国股票市场每日交易量才不到三千亿美元。
3．外汇市场的参与者
那么究竟是谁在这个市场里做着交易呢？当然是那些需要买卖外汇的机构：
- 这首先应该是各个国家的中央银行。他们在外汇市场的目的是什么？完成两个任务： 控制本国的商业银行以及调整本国货币的汇率。发达国家内中央银行不是通过宣布自己的条令，而是通过自己参与市场影响到本国货币汇率。它如何才能做到这一点呢？比方说在俄罗斯，1美元等于28卢布。当俄罗斯中央银行认为该汇率过高必须降低时，它会对外宣称任何人都可以按1美元等于25卢布的汇率从其手中购买美元，并以该价格向市场抛售大量美元。如果俄罗斯中央银行可以满足需求，则美元兑卢布的汇率会降到25。交易员将这种市场业务称之为市场干预。
- 商业银行。他们在外汇市场的目的是什么？首先是投机业务。有些商业银行收入的70-75%是通过在外汇市场进行买卖外汇而得的。除此之外他们还受理其客户兑换货币的委托。
- 相应地，下一个阶层就是银行的客户了，即商业公司，生产企业，投资公司，个人投资者。他们在外汇市场的目的是什么？第一，经营性的需要。如果我是将木材卖给日本的俄罗斯企业家，则我会经常需要将日元换成卢布或相反。如果我是美国人并打算去英国旅游，则我会需要将美元换成英镑。第二，商业银行的客户也在外汇市场进行着投机业务，即从汇率变动中赚取利润。我们正好属于该阶层。
向大家介绍如何在外汇市场进行投机业务之前，我们要对投机人指出FOREX市场相对证券市场的优势。
4．外汇市场的吸引力
- 第一，这是在网络通讯方面最发达的市场。也就是说，您可以通过网络，卫星通讯等等在世界各地完成交易。
- 您可以在几秒钟内通过点击电脑上的几个按键完成交易，即签订购买一批货币的合同。
- 市场交易量非常吸引人。为什么这么说呢？因为市场交易量越大，做预测也就越容易。第一，因为市场参与者的数量很大，基本上不会发生庄家合谋干预市场的现象。除了这点，这么多人开始活动是跟据群众性心理法则。因此如果您熟悉这些法则，您就可以预测市场参与者的反应了。最关键的是庞大的市场可以用数学方法进行预测。我们会教我们的学员运用该预测方法。以数学方法为基础的预测被称为“技术分析”。
- 除此之外，外汇市场对世界范围内的政治及经济事件的反应非常敏感。举个简单的例子： 几年前市场上还在交易德国马克（之后已被欧元所取代），德国向俄罗斯经济投巨资，因此如果市场出现关于俄罗斯的不稳定消息，譬如总统选举或叶利钦身体健康问题，则立即会影响到德国马克的汇率。这所有一切都会帮助预见市场行情。以世界范围内的大事件为基础的预测被称为“基本面分析”。
- 与股票市场不同，外汇市场一周五天（除了周末）全天候不间断运行。市场交易从澳大利亚和新西兰开始，然后开始所谓的亚洲市场交易 —— 日本，香港，新加坡等，随后是欧洲市场开市 —— 北美市场开市。当北美市场收盘时，澳大利亚人已经睡醒并开始了新一天的市场交易。这样，交易就可以在任何时候进行，而这点对投机商来说也是非常重要的。
- 在证券市场只有一个获取利润的方法 —— 即低买高卖。对在外汇市场的投机商来说汇率的上涨或下跌并不很重要，利润可以从货币的升值或贬值中获取。那至于究竟是怎么个过程那就让我们以后给大家慢慢分解吧。
现在让我们直接开始研究外汇市场操作流程。为了我能用你们理解的语言表达我的意思，你们应该掌握几个基本的概念和术语。
5．基本概念
外汇交易 —— 在国际银行间外汇市场进行兑换货币的业务。
交易员和经纪商 —— 交易员 —— 是一个在市场根据自己意愿进行交易的个人或组织。交易员自己决定在何时买（卖）多少何种货币。经纪商 —— 则是一个执行交易员指令的法人。外汇市场 —— 不是一个具体类似芝加哥商品交易所的所有交易员聚集的交易场所。这更像是一个庞大的可确保完成交易的信息网络。这样，通常交易员就是通过经纪商进入该网络。为此交易员进行交易时给经纪商付出佣金，不过经纪商也有可能在只满足于收取点差的同时不收取任何佣金（外汇市场上和任何换汇处一样存在卖价和买价，不过其之间的差异很小）
外汇
像我所说的那样，外汇市场的交易包括全世界任何货币的所有业务。不过兑换越南盾或俄罗斯卢布的业务规模是很有限的。兑换货币业务的大部分包扩最常见的高需求量的主要国际货币。这样大多数经纪商提供给自己客户用交易量在国际外汇市场占到85％的5种世界最主要货币进行交易。这也就是外汇投机商最喜欢的货币对，因为交易量的规模之大使预测更加简单准确。以下就是世界主要货币：
USD -- 美元
EUR -- 欧元
CHF -- 瑞士法郎
JPY -- 日元
GBP -- 英镑
外汇汇率和标价法
“日元多少钱了”—— 这句话本身没有任何意义，因为会出现如下的问题 —— 其价值用什么来衡量？像某部俄罗斯动画片里的鹦鹉所解释的那样，其价值可用任何事物来衡量，甚至用口香糖！—— 即一日元可买多少口香糖。但通常一种货币的价值是用另一种货币来表示的，就像1美元等于28卢布。因此我们只能讨论一组货币对的价值，以后我们还将提到4组货币对。在上面被列举的5个货币当中美元组成了4组主要货币对，因此我们拿欧元，日元，瑞郎和英镑等货币与美元做比较。
FOREX市场主要货币对
美元对瑞士法郎被写成：USDCHF。该货币对的缩写代码为 CHF＝
美元对日元：USDJPY（JPY＝）
欧元对美元： EURUSD（EUR=）
英镑对美元：GBPUSD（GBP =）
请大家注意，在前俩个货币对中美元位于首位，而在后面的俩个货币对中却处于次要位置。这不是随机安放的，这对理解什么是汇率标价非常重要。汇率标价的意思就是将一定数量的在货币对中处于末位的货币单位（该货币被称为非基础货币）用来表示某种在货币对中处于首位的货币单位（该货币被称为基础货币）。
举一个汇率标价记录为例：
USDCHF＝1.7862或者CHF＝1.7862。这就是说一美元可兑换1.7862瑞士法郎
EURUSD＝0.8467（EUR＝0.8467）的标价就意味着一欧元可兑换0.8467（因为欧元是基础货币）
您还应该掌握如下的俩个概念 —— 在市场中 “买入” 和“卖出”这两个概念都是相对基础货币而言的。
点数
您可能已经听说过一种说法“汇价跌了100点”，这个“点”表示汇率可进行的最小增幅移动，即在汇率报价记录中的最后一位小数的变化。如果货币对EURUSD＝0.8467变为EURUSD＝0.8466则意味着欧元下跌了一个点。
交易单位
使用在市场交易业务中的标准货币总额。货币单位大小总是用基础货币表示。即，如果CHF＝1.7862，也就是说，用10000美元能换来不到18000瑞士法郎。交易单位的大小通常为100或1000的倍数。
最小允许进入市场的交易单位由经纪商来决定。Marketiva外汇交易公司的最小交易单位等于1美金，最大交易单位不限。而其他大多数外汇交易公司的最小交易单位为100美元或者1000美元，甚至1万美元。
保证金交易（Margin trading）
我看到你们一听到最低交易单位需要1万美金时就有些心灰意冷了。你们大可放心，因为在市场交易并不需要这么多钱。在这里保证金交易会帮助那些没有大额资金在市场进行交易的交易员。保证金交易的实质是什么呢？
第一，交易员在自己的交易帐户上应存入所谓的抵押存款。
抵押存款 —— 交易员账户里确保交易正常进行的资金。
保证金交易的主要准则＝交易员在市场允许进行不超过其抵押存款总额N倍的交易。参数N被称作是杆杠比率。
更简单的说，每个经纪商给交易员提供所谓的融资杆杠。不同的经纪商有不同的杆杠比率，Marketiva公司提供的杆杠比率为100。这意味着什么？
这意味着您的经纪商为您提供进行超过您保证金100倍交易的可能。也就是说，如您的交易帐户有200美元的保证金，您可进行总额为20000美元的交易，如您的保证金等于2000美元，则您可以进行总额200000美元的交易。也就是说您可进行低于最大总额的交易，但绝对不能高于该最大总额！
这里可能会出现一个合理的问题 —— 是什么让经纪商如此乐善好施呢？为了回答这个问题我们需要研究分析外汇市场上的进行一次交易的全过程。
6． 在外汇市场进行投机交易的全过程
你们首先应该了解的是为了在外汇市场有效的进行交易，交易员应该拥有相关的外汇知识，它在自己知识的基础上应该创造所谓的交易系统。交易系统 —— 这是一种交易规则的汇编，交易员根据这些规则分析及预测市场，并认清现在用多大的交易单位买或卖何种货币。如何创建交易系统--在入门讲解部分还无法解释，该课题我们将在正式教学课程中详述，所以在我要进行的交易过程将会这么说：“根据交易系统的指示现在该买了”。
任何交易都由俩部分组成：首先该买进某种货币，然后再将其卖出。买进在我们这里被叫做“建立头寸”，卖出为“结清头寸”。
假如说，根据交易系统的指示交易员预测瑞士法郎对美元会贬值。当USDCHF汇率到达1.7860时，根据交易系统的指示他该买进了。瑞士法郎的汇率达到该价位，在交易员的保证金帐户上有1000美元，他通过利用1:100的杆杠比率可以买进交易单位为10万的美元（因为在该货币对标价中美元为基础货币）。交易员买进了该交易单位，即建立了头寸。这样一来，我们就当USDCHF牌价为1.7860时买进了10万美元。
现在让我们来分析一下，在这种情况下发生了什么。共有俩个交易方--交易员和经纪商。在进行交易的一部分时交易员承担给经纪商拨款178600瑞士法郎的义务。同时经纪商承担给交易员拨款100000美元的义务。在这里应该指出很重要的一点 —— 这时并没实现资金的拨款，他们只承担自己的义务。形象地说，他们已经完成了交易，但约好了以后互相拨款。
现在让我们分析一下头寸的结清。为简单起见，我们来分析一下一点价格的变动。假设过一段时间后美元对瑞士法郎的汇价增值了一点。也就是说，USDCHF的汇价将达到1.7861。交易员结清了头寸。在结清以前建立的头寸时交易员应该进行相反交易。
交易员向经纪商购买了10万美元。现在他要按照当前汇率，即1.7861卖出这些美元。也就是说，现在承担的义务已经相反了—— 交易员承担给经纪商提供10万美元的义务。而经纪商则相应的按照牌价提供给交易员178610瑞士法郎。这时还是没有实现资金拨款，而只是进行了义务的互相清偿。
在建立头寸时经纪商应该提供给交易员10万美元。而在结清头寸时交易员应该提供给经纪商10万美元。像我们看到的那样，该义务互相清偿，双方进行了零性资产负债清算，谁也不欠谁的钱。
现在我们分析此交易的瑞士法郎部分。 在建立头寸时交易员保证提供给经纪商178600瑞士法郎。而在结清头寸时经纪商应该提供给交易员178610瑞士法郎。 进行了义务的互相清偿，经纪商应该多给交易员10瑞士法郎。他就把这10法郎交给了交易员。我想说的是市场上所有的结算都是以美元来进行的，因此我们将瑞士法郎折合成美元。我们当前的牌价是：1美元值1.7861瑞士法郎，因此用10法郎除以该牌价在四舍五入之后我们得到了5.6美元。该次交易中交易员的利润大小为5.6美元。即当交易单位为10万美元时一个点的价格变动会给交易员带来5.6美元的利润。
请注意，利润多少取决交易单位的大小！为什么呢？让我们来算一下。
假设交易员在建立头寸时买入的交易单位不是10万，而是1万美元（为此交易员只需要金额为100美元的保证金）。相应的，他保证提供给经纪商17860法郎，而不是178600法郎。在结清头寸时，他相应卖出这1万美元并应从经纪商那得到17861瑞士法郎。也就是说他的利润已经不是10法郎了，而只有1法郎或是56美分。而如果交易员买入的头寸单位不是10万，而是20万美元的话（保证金帐户上的金额为2000美元) ），则一个点的价格变动带来的利润共计为11美元20美分。
在我们刚才分析的例子中，是交易员正确的预测了市场走势。如果他预测失误的话，同时瑞士法郎升值而不是贬值呢？
如果汇率发生相反方向的一点变动，并达到1.7859而不是1.7861，则在我们分析的例子中交易员提供给经纪商178600瑞士法郎之后从他那收到178590瑞士法郎。也就是说，他损失了5美元60美分--经纪商从交易员的保证金帐户里扣除了5美元60美分。然后他原有帐户里的1000美金变成了994美元40美分。这就是保证金的用途所在--经纪商从其扣除损失及向其增加利润。如你们看到的那样，利润或损失的大小与被在交易时动用的资金比较的话不算很多--在进行10万美元的交易时才5美元。这也是为什么经纪商能提供1:100的杆杠比率的答案。可能发生的损失总和不会特别大所以金额为1000美元的保证金完全可以保证交易员能偿还交易过程发生的损失。
这样的话，如果交易员认为瑞士法郎不会贬值，而相反会升值，则他在这次交易中不应买进而应卖出。您还记得吗，“买进”和“卖出”这俩个术语是相对基础货币而言的，而在USDCHF货币对中，基础货币为美元。也就是说，如果系统显示瑞士法郎将升值，则交易员卖给经纪商10万美元并相应得到了178600瑞士法郎。汇率下跌了一个点，USDCHF=1.7859。当结清头寸时交易员从经纪商那里拿回了自己的10万美元，同时应该退给经纪商178590瑞士法郎，而不是178600，作为利润他给自己留下了10法郎或5美元60美分。
作为课外作业您可以分析一下另一个美元不是基础货币的货币对，比方说EURUSD。假如说，当前汇率为
EURUSD=0.8467。请您计算一下一个点的汇率变化为您带来多大利润。如我们认为欧元将会贬值，则该货币对应该做什么：买入还是卖出？只不过，别忘了这货币对中欧元为基础货币，因此这情况下我们要操作的是100000欧元的交易单位。
最后，可能使你们感兴趣的最后一个问题 —— 在外汇市场实际能赚多少钱？价格变动幅度有多大？当然每天有不同的价格变动，但平均算瑞士法郎的汇价每天会有120点的变幅，即如一点的价格变动能产生5.6美元的利润，那么交易员的收入能达到670美元或更多。
为什么更多呢？因为120点 —— 这是一天内的最高价与最低价的差异，而货币的汇率不可能直线上涨。汇率上涨下跌的往覆运动着。我们假设一天内的货币汇率首先涨了60点，然后又跌了45点。那么如果交易员首先建立了多头头寸然后在最高价水平结清该头寸并立即建立空头头寸，（即用交易员行话说为进行反向交易） 则虽然最高价与最低价的价差才60点，该交易员会获得105点的利润。
这样的话在外汇市场可以赚钱而且还能赚很多钱。为此您只需要学会正确的预测--何时及何方向要建立头寸及结清头寸。而为此您需要掌握一些技术分析和基本面分析中的预测价格走势方法，其能帮助您创建交易系统。在国际金融交易学院我们提供这些课题的教学服务。所以如您出现了在外汇市场尝试自己能力的欲望，那就请你们到我们这来学习吧！！！
什么是微积分？
pHonE 发表于 2007-11-16 15:54:50
如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，以及如航海、天文、矿山建设等许多课题要解决，数学也开始研究变化着的量，数学进入了“变量数学”时代，即微积分不断完善成为一门学科。整个17世纪有数十位科学家为微积分的创立做了开创性的研究，但使微积分成为数学的一个重要分支的还是牛顿和莱布尼茨。
从微积分成为一门学科来说，是在17世纪，但是，微分和积分的思想早在古代就已经产生了。公元前3世纪，古希腊的数学家、力学家阿基米德（公元前287—前212）的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲线的体积的问题中就隐含着近代积分的思想。作为微积分的基础极限理论来说，早在我国的古代就有非常详尽的论述，比如庄周所著的《庄子》一书中的“天下篇”中，著有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。三国时期的刘徽在他的割圆术中提出“割之弥细，所失弥少，割之又割以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。他在1615年《测量酒桶体积的新科学》一书中，就把曲线看成边数无限增大的直线形。圆的面积就是无穷多个三角形面积之和，这些都可视为典型极限思想的佳作。意大利数学家卡瓦列利在1635年出版的《连续不可分几何》，就把曲线看成无限多条线段（不可分量）拼成的。这些都为后来的微积分的诞生作了思想准备。
17世纪生产力的发展推动了自然科学和技术的发展，不但已有的数学成果得到进一步巩固、充实和扩大，而且由于实践的需要，开始研究运动着的物体和变化的量，这样就获得了变量的概念，研究变化着的量的一般性和它们之间的依赖关系。到了17世纪下半叶，在前人创造性研究的基础上，英国大数学家、物理学家艾萨克·牛顿（1642－1727）是从物理学的角度研究微积分的，他为了解决运动问题，创立了一种和物理概念直接联系的数学理论，即牛顿称之为“流数术”的理论，这实际上就是微积分理论。牛顿的有关“流数术”的主要著作是《求曲边形面积》、《运用无穷多项方程的计算法》和《流数术和无穷极数》。这些概念是力学概念的数学反映。牛顿认为任何运动存在于空间，依赖于时间，因而他把时间作为自变量，把和时间有关的固变量作为流量，不仅这样，他还把几何图形——线、角、体，都看作力学位移的结果。因而，一切变量都是流量。
牛顿指出，“流数术”基本上包括三类问题。
（l）“已知流量之间的关系，求它们的流数的关系”，这相当于微分学。
（2）已知表示流数之间的关系的方程，求相应的流量间的关系。这相当于积分学，牛顿意义下的积分法不仅包括求原函数，还包括解微分方程。
（3）“流数术”应用范围包括计算曲线的极大值、极小值、求曲线的切线和曲率，求曲线长度及计算曲边形面积等。
牛顿已完全清楚上述（l）与（2）两类问题中运算是互逆的运算，于是建立起微分学和积分学之间的联系。
牛顿在1665年5月20目的一份手稿中提到“流数术”，因而有人把这一天作为诞生微积分的标志。
莱布尼茨使微积分更加简洁和准确
而德国数学家莱布尼茨（G．W．Leibniz 1646－1716）则是从几何方面独立发现了微积分，在牛顿和莱布尼茨之前至少有数十位数学家研究过，他们为微积分的诞生作了开创性贡献。但是池们这些工作是零碎的，不连贯的，缺乏统一性。莱布尼茨创立微积分的途径与方法与牛顿是不同的。莱布尼茨是经过研究曲线的切线和曲线包围的面积，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学，造诣较莱布尼茨高一筹，但莱布尼茨的表达形式采用数学符号却又远远优于牛顿一筹，既简洁又准确地揭示出微积分的实质，强有力地促进了高等数学的发展。
莱布尼茨创造的微积分符号，正像印度——阿拉伯数码促进了算术与代数发展一样，促进了微积分学的发展，莱布尼茨是数学史上最杰出的符号创造者之一。
牛顿当时采用的微分和积分符号现在不用了，而莱布尼茨所采用的符号现今仍在使用。莱布尼茨比别人更早更明确地认识到，好的符号能大大节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。
哈特里－福克方程
pHonE 发表于 2007-11-16 15:15:19
http://www.encyklopedia.99.waw.pl/zh/wiki/Hartree-Fock%E6%96%B9%E7%A8%8B.html
哈特里—福克方程，又称为HF方程，是一个应用变分法计算多电子体系波函数的方程，是量子化学中最重要的方程之一，基于分子轨道理论的所有量子化学计算方法都是以HF方程为基础的，鉴于分子轨道理论在现代量子化学中的广泛应用，HF方程可以被称作现代量子化学的基石。
HF方程的基本思路为：多电子体系波函数是由体系分子轨道波函数为基础构造的斯莱特行列式，而体系分子轨道波函数是由体系中所有原子轨道波函数经过线性组合构成的，那么不改变方程中的算子和波函数形式，仅仅改变构成分子轨道的原子轨道波函数系数，便能使体系能量达到最低点，这一最低能量便是体系电子总能量的近似，而在这一点上获得的多电子体系波函数便是体系波函数的近似。
方程的形式为：
f(1)χa(1) = εaχa(1)
其中f(1)为福克算子，χa(1)为体系的分子轨道，εa是分子轨道χa(1)的轨道能。
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[编辑] 历史
1927年物理学家海特勒和伦敦完成了氢气分子的量子力学计算之后，开启了量子化学的时代，在那之后，人们便开始尝试使用量子力学理论来解释化学物质结构和化学现象。为了解决多电子体系薛定谔方程近似求解的问题量子化学家哈特里(D.R.Hartree)在1928年提出了哈特里假设，他将每个电子看做是在其他所有电子构成的平均势场中运动的粒子，并且首先提出了迭代法的思路，哈特里根据他的假设，将体系电子哈密顿算子分解为若干个单电子哈密顿算子的简单加和，每个单电子哈密顿算子中只包含一个电子的坐标，因而体系多电子波函数可以表示为单电子波函数的简单乘积，这就是Hartree方程。
但是由于哈特里没有考虑电子波函数的反对称要求，他的哈特里方程实际上是非常不成功的。1930年，哈特里的学生福克（B. A. Fock）和斯莱特（J. C. Slater）分别提出了考虑泡利原理的自洽场迭代方程和单行列式型多电子体系波函数，这就是今天的哈特里—福克方程。
但是由于计算上的困难，HF方程诞生后整整沉寂了二十年，在1950年，量子化学家罗特汉(C. C. J. Roothaan)想到将分子轨道用原子轨道的线性组合来近似展开，而得到了闭壳层结构的Roothaan方程，1953年美国的帕里瑟、帕尔和英国的約翰·波普花费两年时间使用手摇计算器分别独立地实现了对氮气分子的RHF自洽场计算，这是人类首次通过求解HF方程获得对化学结构的量子力学解释，也是量子化学计算方法第一次实际完成。
在第一次成功之后，伴随着计算机技术的迅猛发展，HF方程与量子化学一道获得长足发展，在HF方程的基础上，人们发展出了高级量子化学计算方法，使得计算精度进一步提高，通过对HF方程电子积分的简化和参数化，人们大大缩减了量子化学的计算量，使得对超过1000个原子的中等大小分子的计算成为可能。
[编辑] 方程的推导
哈特里—福克方程源出于对多电子体系电子波函数的变分法处理。在玻恩-奥本海默近似条件下，一个多电子体系的电子运动与能量可以与原子核的运动和能量相互分离，这样利用电子哈密顿算子和多电子波函数便可以计算体系的电子能量，其能量的表达式为:
式中E0表示体系基态电子能量，Hele表示体系的电子哈密顿算子，Ψ0代表基态多电子波函数。
Ψ0是一个由体系单电子分子轨道波函数为基函数组建的斯莱特行列式形的多电子波函数，构建Ψ0 的各个分子轨道相互之间是正交归一的，因而有限制条件 < χa | χb > − δab = 0
Hele是体系电子哈密顿算子，根据玻恩-奥本海默近似，
可以将Hele分解为两部分Hele = O1 + O2，算子
仅仅涉及一个电子，算子
是涉及两个电子的算子
考虑分子轨道的正交归一性，应用拉格朗日乘因子法对函数
应用变分法进行处理，式中εab是拉格朗日待定因子， < a | b > 是 < χa | χb > 的缩略形式。
变分法的处理过程如下： 
其中
| δE0 = | ![\sum_a^N [\delta \chi_a|h|\chi_a]+\sum_a^N [\chi_a|h|\delta \chi_a]](http://upload.wikimedia.org/math/d/9/7/d97110534b06fd5143898d7537d1bed8.png) |
![+\frac{1}{2}\sum_{a,b}^N \left([\delta\chi_a\chi_a|\chi_b\chi_b]+[\chi_a\delta\chi_a|\chi_b\chi_b]+[\chi_a\chi_a|\delta\chi_b\chi_b]+[\chi_a\chi_a|\chi_b\delta\chi_b]\right)](http://upload.wikimedia.org/math/9/0/1/901df5ade3bffa3f3dda84358e067f66.png) |
|
![+\frac{1}{2}\sum_{a,b}^N \left([\delta\chi_a\chi_b|\chi_b\chi_a]+[\chi_a\delta\chi_b|\chi_b\chi_a]+[\chi_a\chi_b|\delta\chi_b\chi_a]+([\chi_a\chi_b|\chi_b\delta\chi_a]\right)](http://upload.wikimedia.org/math/a/6/8/a687c568ce17c5951a9be67c238fb78b.png) |
考虑到流动坐标的不可区分性，可以简化为：
| δE0 = | ![\sum_a^N [\delta \chi_a|h|\chi_a]+\sum_{a,b}^N \left([\delta\chi_a\chi_a|\chi_b\chi_b]-[\delta\chi_a\chi_b|\chi_b\chi_a]\right)](http://upload.wikimedia.org/math/9/d/3/9d3447ef777d11bb326cf79b47423db8.png) |
![+\left(\sum_a^N [\delta \chi_a|h|\chi_a]+\sum_{a,b}^N \left([\delta\chi_a\chi_a|\chi_b\chi_b]-[\delta\chi_a\chi_b|\chi_b\chi_a]\right)\right)^*](http://upload.wikimedia.org/math/8/1/8/818bef85c9d67a8e0b93ec0a5538db31.png) |
依照同样原理考虑流动坐标的不可分辨性，δL中的![\sum_{a,b}^N\epsilon_{ba}\delta[a|b]](http://upload.wikimedia.org/math/8/a/f/8af266e1468a7f879791b5fc74aa5ac4.png)
项有：
![\sum_{a,b}^N\epsilon_{ba}\delta[a|b]=\sum_{a,b}^N\epsilon_{ba}[\delta\chi_a|\chi_b]+\left(\sum_{a,b}^N\epsilon_{ba}[\delta\chi_a|\chi_b]\right)^*](http://upload.wikimedia.org/math/3/3/3/3336cf5b98cd6b30ea13e8d497a18700.png)
将两项加和，δL最终可以表示为：
| δL = | ![\sum_a^N [\delta \chi_a|h|\chi_a]+\sum_{a,b}^N \left([\delta\chi_a\chi_a|\chi_b\chi_b]-[\delta\chi_a\chi_b|\chi_b\chi_a]\right)+\sum_{a,b}^N\epsilon_{ba}[\delta\chi_a|\chi_b]](http://upload.wikimedia.org/math/b/c/1/bc1ec9cc6c9a0bfee303ef123775c65e.png) |
![+\left(\sum_a^N [\delta \chi_a|h|\chi_a]+\sum_{a,b}^N \left([\delta\chi_a\chi_a|\chi_b\chi_b]-[\delta\chi_a\chi_b|\chi_b\chi_a]\right)+\sum_{a,b}^N\epsilon_{ba}[\delta\chi_a|\chi_b]\right)^*](http://upload.wikimedia.org/math/e/4/3/e433108f5e70b447eda878a44638a848.png) |
|
| = 0 |
若L函数处于最低点，则面对其中变量
向各个方向的微小变化都应该有δL = 0在此可以取
，则在δL表达式中，第一项前会产生一个i的系数，对第一项取复共轭的第二项前会产生一个-i系数：
| δL = | ![i\sum_a^N [\delta \chi_a|h|\chi_a]+\sum_{a,b}^N \left([\delta\chi_a\chi_a|\chi_b\chi_b]-[\delta\chi_a\chi_b|\chi_b\chi_a]\right)+\sum_{a,b}^N\epsilon_{ba}[\delta\chi_a|\chi_b]](http://upload.wikimedia.org/math/1/a/3/1a39195ec3886a153e71ed9ccba62e98.png) |
![-i\left(\sum_a^N [\delta \chi_a|h|\chi_a]+\sum_{a,b}^N \left([\delta\chi_a\chi_a|\chi_b\chi_b]-[\delta\chi_a\chi_b|\chi_b\chi_a]\right)+\sum_{a,b}^N\epsilon_{ba}[\delta\chi_a|\chi_b]\right)^*](http://upload.wikimedia.org/math/8/8/a/88a3fcc7fc2c3937efb9bf34b455954f.png) |
|
| = 0 |
消去虚数单位，并与
所获得的δL表达式相加，可以消去表达式中取复共轭的第二项：
| δL = | |
| = 0 |
![\sum_a^N \int dx_1 \delta \chi_{a(1)}\left[h_1\chi_{a(1)}+\sum_b^N\left(J_{b(1)K_{b(1)}\right)\chi_{a(1)}-\sum_b^n\epsilon_{ba}\chi_{b(1)}\right]=0](http://upload.wikimedia.org/math/5/f/2/5f2e6d674167c06c79343d539cda42b2.png)
}-
由于对任意方向的
上述等式均应成立，因而必须有:
}-
整理等式的形式得到：
![\left[h_{(1)}+\sum_b^N\left(J_{b(1)K_{b(1)}\right)\right]\chi_{a(1)}=\sum_b^N\epsilon_{ba}\chi_{b(1)}](http://upload.wikimedia.org/math/4/8/d/48d79fd36c50a422da547dec06793b27.png)
}-
引入Fock算子
}-，方程可以表达为：
这就是哈特里—福克方程，为了方便方程的解，通过对分子轨道波函数进行酉变换处理，使得由
构成的矩阵对角化，一般的，不可解的哈特里—福克方程转化为正则哈特里—福克方程：
f(1)χa(1) = εaχa(1)
这个方程形式上具有一般本征方程的形式，可以近似求解，是Hartree-Fock自洽场方法、组态相互作用方法、多体微扰理论方法、半经验量子化学计算等现代量子化学计算方法的基础。
[编辑] 方程的解与自洽场方法
正则哈特里—福克方程虽然具有简单的本征方程形式，但福克算子中的库仑算子和交换算子中含有所有χa的表达式，因而实际上方程的形式非常复杂，无法求得精确的解析解，只能使用迭代法求解，即量子化学中所谓“自洽场方法”。
在实际操作中，人们会首先将本征方程转化为矩阵方程，这一转变是通过基组实现的，即在某一特定基组上展开所有的分子轨道：
| ψa = | ∑ | ciaφi |
| i |
其中的ψa是分子轨道除去了自旋函数之后的空间函数，φi是基组中的基函数。经过这一转变，就可以用一个变化的i维向量
(即上述公式中基函数前系数构成的矩阵)来代表分子轨道。同时经过类似的变换可以将Fock算子转化为Fock矩阵的形式。最终HF方程的形式转化为
这样，计算和处理上相对复杂的本征方程就转化为只需要进行简单代数计算就可以求解的矩阵本征方程，而原方程中复杂的积分则在上述转化过程中一次性完成了
求解过程首先需要假设一个可能的矩阵，即假设一套分子轨道，用这套矩阵的数据计算出一个假设的矩阵
，对求解矩阵本征方程，得到一套新的矩阵和相应的本征值矩阵
，再以计算获得的新矩阵重复上述过程，直到各个矩阵元的的数值不再有明显的变化，即称作方程达到收敛，也即得到了哈特里—福克方程的解。
得到收敛的矩阵后，将这些系数与基函数结合代入
| ψa = | ∑ | ciaφi |
| i |
，便获得了最终的分子轨道波函数形式以及包括体系电子总能量在内的各种性质
[编辑] 方程的应用
HF方程在量子化学中有着广泛的应用，所有分子轨道理论的量子化学计算都是以HF方程为基础的。
- 组态相互作用方法(CI)：在CI方法中，通过HF方程解得的一系列分子轨道用于构建多电子基函数集，在构建了多电子基函数集后再通过变分法处理获得CI能量的最低点，因而进行CI计算必须首先完成HF方程的求解
- 多体微扰理论方法(MPn)：MPn计算将体系所有福克算子的代数和定义为哈特里—福克哈密顿算子，将电子间相互作用所产生的能量项看做是对哈特里—福克哈密顿算子的微扰，经过微扰处理后可以获得体系能量的近似值。进行多体微扰计算也需要首先进行HF方程的求解，以获得需要的分子轨道波函数形式和分子轨道能量。
- 半经验量子化学计算：半经验量子化学计算是对HF方程求解过程的简化，在HF方程的求解中，绝大部分计算量都分布在由正则HF方程向矩阵本征方程形式转变的过程中，如果将这一过程中大量的电子积分用经验数值代替，便可以极大地缩短HF方程的求解周期，为此，针对不同的研究体系，量子化学家开发了不同的积分经验常数，与之相应地产生了各色各样的半经验量子化学计算方法。本质上将，半经验计算仍然是通过自洽场方法求解HF方程的过程。
对不收敛问题的对策
pHonE 发表于 2007-11-16 10:02:13
1)然后根据此轨道占据构造电荷密度和哈密顿量。
2)对角化哈密顿量，得到新的轨道能级和占据。
3)产生新的电荷分布和哈密顿量，重复步骤2）
经过一定次数的循环后，某次循环前和循环后的电荷密度差别小于一定的标准，我们称之为收敛。
如果以上过程不能收敛，则gaussian给出convergence failure的警告。
由于一定的基组对应于一定精度和速度，所以更换基组并不在所有的情况下都适用。方法是首先用小基组进行计算，由前一个波函得到用于大基组计算的初始猜测(Guess=Read自动进行)。
Gaussian默认的最大循环步数为64 (SCF=DM或SCF=QC方法则为512)，如果循环次数超过这个数目则会汇报convergence failure。在一定的情况下，不收敛的原因仅仅是因为最大循环步数不够。可以通过设置maxcyc来增大最大循环步数。更多的SCF迭代(SCF(MaxCycle=N)，其中N是迭代数)。这很少有帮助，但值得一试。
如果接近SCF但未达到，收敛标准就会放松或者忽略收敛标准。这通常用于不是在初始猜测而是在平衡结构收敛的几何优化。SCF=Sleazy放松收敛标准，Conver选项给出更多的控制。
如果不收敛的原因是波函数的震荡行为，通常是因为在相近的能量上的泰的混合。对于这种情况，我们可以采用level shifting的方法。Level shifting的含义是人工的升高非占据轨道的能级，以防止和最高占据轨道之间的混合，以达到收敛的目的。在Gaussian中此方法的关键词为SCF=Vshift
可以考虑改变模型方法。比较常见的方法有HF,GVB,MCSCF,CASSCF,MPn等。改变模型方法通常也会收敛性质。通常，精度更高的方法更难收敛。精度比较低的方法产生的计算结果可以作为高精度计算的初始猜测。考虑使用不同理论级别的计算。这并不总是实用的，但除此之外，增加迭代数量总是使得计算时间和使用更高理论级别差不多。
微积分发展简史
pHonE 发表于 2007-11-15 20:16:44
微积分发展简史
一． 微积分思想萌芽
微积分的思想萌芽，部分可以追溯到古代。在古代希腊、中国和印度数学家的著作中，已不乏用朴素的极限思想，即无穷小过程计算特别形状的面积、体积和曲线长的例子。在中国，公元前5世纪，战国时期名家的代表作《庄子·天下篇》中记载了惠施的一段话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，是我国较早出现的极限思想。但把极限思想运用于实践，即利用极限思想解决实际问题的典范却是魏晋时期的数学家刘徽。他的“割圆术”开创了圆周率研究的新纪元。刘徽首先考虑圆内接正六边形面积 ，接着是正十二边形面积 ，然后依次加倍边数，则正多边形面积愈来愈接近圆面积。用他的话说，就是：“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”按照这种思想，他从圆的内接正六边形面积一直算到内接正192边形面积，得到圆周率 的近似值3.14。大约两个世纪之后，南北朝时期的著名科学家祖冲之（公元429-500年）祖 恒父子推进和发展了刘徽的数学思想，首先算出了圆周率 介于3.1415926与3.1415927之间，这是我国古代最伟大的成就之一。其次明确提出了下面的原理：“幂势既同，则积不容异。”我们称之为“祖氏原理”，即西方所谓的“卡瓦列利原理”。并应用该原理成功地解决了刘徽未能解决的球体积问题。
欧洲古希腊时期也有极限思想，并用极限方法解决了许多实际问题。较为重要的当数安提芬(Antiphon,B.C420年左右)的“穷竭法”。他在研究化圆为方问题时，提出用圆内接正多边形的面积穷竭圆面积，从而求出圆面积。但他的方法并没有被数学家们所接受。后来，安提芬的穷竭法在欧多克斯(Eudoxus,B.C409-B.C356)那里得到补充和完善。之后，阿基米德(Archimedes,B.C287-B.C212)借助于穷竭法解决了一系列几何图形的面积、体积计算问题。他的方法通常被称为“平衡法”，实质上是一种原始的积分法。他将需要求积的量分成许多微小单元，再利用另一组容易计算总和的微小单元来进行比较。但他的两组微小单元的比较是借助于力学上的杠杆平衡原理来实现的。平衡法体现了近代积分法的基本思想，是定积分概念的雏形。
与积分学相比，微分学研究的例子相对少多了。刺激微分学发展的主要科学问题是求曲线的切线、求瞬时变化率以及求函数的极大值极小值等问题。阿基米德、阿波罗尼奥斯(Apollonius, c.BC262-c.BC190)等均曾作过尝试，但他们都是基于静态的观点。古代与中世纪的中国学者在天文历法研究中也曾涉及到天体运动的不均匀性及有关的极大、极小值问题，但多以惯用的数值手段（即有限差分计算）来处理，从而回避了连续变化率。
二． 十七世纪微积分的酝酿
微积分思想真正的迅速发展与成熟是在16世纪以后。1400年至1600年的欧洲文艺复兴，使得整个欧洲全面觉醒。一方面，社会生产力迅速提高，科学和技术得到迅猛发展；另一方面，社会需求的急需增长，也为科学研究提出了大量的问题。这一时期，对运动与变化的研究已变成自然科学的中心问题，以常量为主要研究对象的古典数学已不能满足要求，科学家们开始由对以常量为主要研究对象的研究转移到以变量为主要研究对象的研究上来，自然科学开始迈入综合与突破的阶段。
微积分的创立，首先是为了处理十七世纪的一系列主要的科学问题。有四种主要类型的科学问题：第一类是，已知物体的移动的距离表为时间的函数的公式，求物体在任意时刻的速度和加速度使瞬时变化率问题的研究成为当务之急；第二类是，望远镜的光程设计使得求曲线的切线问题变得不可回避；第三类是，确定炮弹的最大射程以及求行星离开太阳的最远和最近距离等涉及的函数极大值、极小值问题也急待解决；第四类问题是求行星沿轨道运动的路程、行星矢径扫过的面积以及物体重心与引力等，又使面积、体积、曲线长、重心和引力等微积分基本问题的计算被重新研究。在17世纪上半叶，几乎所有的科学大师都致力于寻求解决这些问题的数学工具。这里我们只简单介绍在微积分酝酿阶段最具代表性的几位科学大师的工作。
开普勒(J.Kepler,1571-1630)与无限小元法。德国天文学家、数学家开普勒在1615年发表的《测量酒桶的新立体几何》中，论述了其利用无限小元求旋转体体积的积分法。他的无限小元法的要旨是用无数个同维无限小元素之和来确定曲边形的面积和旋转体的体积，如他认为球的体积是无数个顶点在球心底面在球上的小圆锥的体积的和。
卡瓦列里(B.Cavalieri,1598-1647)与不可分量法。意大利数学家卡瓦列里在其著作《用新方法推进的连续的不可分量的几何学》(1635)中系统地发展了不可分量法。他认为点运动形成线，线运动形成面，体则是由无穷多个平行平面组成，并分别把这些元素叫做线、面和体的不可分量。他建立了一条关于这些不可分量的一般原理（后称卡瓦列里原理，既是我国的祖 原理）：如果在等高处的横截面有相同的面积，两个有同高的立体有相同的体积。利用这个原理他建立了等价于下列积分：
的基本结果，并解决了开普勒的旋转体体积的问题。
巴罗(I.Barrow,1630-1677)与“微分三角形”。巴罗是英国的数学家，在1669年出版的著作《几何讲义》中，他利用微分三角形（也称特征三角形）求出了曲线的斜率。他的方法的实质是把切线看作割线的极限位置，并利用忽略高阶无限小来取极限。巴罗是牛顿的老师，英国剑桥大学的第一任“卢卡斯数学教授”，也是英国皇家学会的首批会员。当他发现和认识到牛顿的杰出才能时，便于1669年辞去卢卡斯教授的职位，举荐自己的学生—当时才27岁的牛顿来担任。巴罗让贤已成为科学史上的佳话。
笛卡儿(R. Descartes,1596-1650)、费马(P. de Fermat,1601-1665)和坐标方法。笛卡儿和费马是将坐标方法引进微分学问题研究的前锋。笛卡儿在《几何学》中提出的求切线的“圆法”以及费马手稿中给出的求极大值与极小值的方法，实质上都是代数的方法。代数方法对推动微积分的早期发展起了很大的作用，牛顿就是以笛卡儿的圆法为起点而踏上微积分的研究道路。
沃利斯(J. Wallis,1616-1703)的“无穷算术”。沃利斯是在牛顿和莱布尼茨之前，将分析方法引入微积分贡献最突出的数学家。在其著作《无穷算术》中，他利用算术不可分量方法获得了一系列重要结果。其中就有将卡瓦列里的幂函数积分公式推广到分数幂情形，以及计算四分之一圆的面积等。
17世纪上半叶一系列先驱性的工作，沿着不同的方向向微积分的大门逼近，但所有这些努力还不足以标志微积分作为一门独立科学的诞生。前驱者对于求解各类微积分问题确实做出了宝贵的贡献，但他们的方法仍缺乏足够的一般性。虽然有人注意到这些问题之间的某些联系，但没有人将这些联系作为一般规律明确提出来，作为微积分基本特征的积分和微分的互逆关系也没有引起足够的重视。因此，在更高的高度将以往个别的贡献和分散的努力综合为统一的理论，成为17世纪中叶数学家面临的艰巨任务。
三． 微积分的创立—牛顿和莱布尼茨的工作
1．牛顿的“流数术”
牛顿(I.Newton,1642-1727)1642年生于英格兰伍尔索普村的一个农民家庭，少年时成绩并不突出，但却酷爱读书。17岁时，牛顿被他的母亲从中学召回务农，后来，牛顿的母亲在牛顿就读的格兰瑟姆中学校长史托克斯和牛顿的舅父埃斯库的竭力劝说下，又允许牛顿重返学校。史托克斯的劝说词中的一句话：“在繁杂的农务中埋没这样一位天才，对世界来说将是多么巨大的损失”，可以说是科学史上最幸运的预言。1661年牛顿进入剑桥大学三一学院，受教于巴罗。对牛顿的数学思想影响最深的要数笛卡儿的《几何学》和沃利斯的《无穷算术》，正是这两部著作引导牛顿走上了创立微积分之路。
1665年，牛顿刚结束他的大学课程，学校就因为流行瘟疫而关闭，牛顿离校返乡。在家乡躲避瘟疫的两年，成为牛顿科学生涯中的黄金岁月，微积分的创立、万有引力以及颜色理论的发现等都是牛顿在这两年完成的。
牛顿于1664年秋开始研究微积分问题，在家乡躲避瘟疫期间取得了突破性进展。1666年牛顿将其前两年的研究成果整理成一篇总结性论文—《流数简论》，这也是历史上第一篇系统的微积分文献。在简论中，牛顿以运动学为背景提出了微积分的基本问题，发明了“正流数术”（微分）；从确定面积的变化率入手通过反微分计算面积，又建立了“反流数术”；并将面积计算与求切线问题的互逆关系作为一般规律明确地揭示出来，将其作为微积分普遍算法的基础论述了“微积分基本定理”。“微积分基本定理”也称为牛顿—莱布尼茨定理，牛顿和莱布尼茨各自独立地发现了这一定理。该定理用我们现代的语言叙述就是：
设函数 在区间 连续，对 内任何 ，令
，
则 。如果 是 的一个原函数，则
。
微积分基本定理是微积分中最重要的定理，它建立了微分和积分之间的联系，指出微分和积分互为逆运算。
这样，牛顿就以正、反流数术亦即微分和积分，将自古以来求解无穷小问题的各种方法和特殊技巧有机地统一起来。正是在这种意义下，我们说牛顿创立了微积分。
《流数简论》标志着微积分的诞生，但它有许多不成熟的地方。1667年，牛顿回到剑桥，并未发表他的《流数简论》。在以后20余年的时间里，牛顿始终不渝地努力改进、完善自己的微积分学说，先后完成三篇微积分论文：《运用无穷多项方程的分析学》（简称《分析学》，1669）；《流数法与无穷级数》（简称《流数法》，1671）；《曲线求积术》（1691），它们反映了牛顿微积分学说的发展过程。在《分析学》中，牛顿回避了《流数简论》中的运动学背景，将变量的无穷小增量叫做该变量的“瞬”，记作 ，看成是静止的无限小量，有时直接令其为零，带有浓厚的不可分量色彩。在论文《流数法》中，牛顿又恢复了运动学观点。他把变量叫做“流”，变量的变化率叫做“流数”，变量的瞬是随时间的瞬而连续变化的。在《流数法》中，牛顿更清楚地表述了微积分的基本问题：“已知两个流之间的关系，求他们的流数之间的关系”；以及反过来“已知表示量的流数间的关系的方程，求流之间的关系”。在《流数法》和《分析学》中，牛顿所使用的方法并无本质的区别，都是以无限小量作为微积分算法的论证基础，所不同的是：《流数法》以动力学连续变化的观点代替了《分析学》的静力学不可分量法。
牛顿最成熟的微积分著述《曲线求积术》，对于微积分的基础在观念上发生了新的变革，它提出了“首末比方法”。牛顿批评自己过去随意扔掉无限小瞬 的做法，他说“在数学中，最微小的误差也不能忽略…。在这里，我认为数学的量并不是由非常小的部分组成的，而是用连续的运动来描述的”。在此基础上牛顿定义了流数概念，继而认为：“流数之比非常接近于尽可能小的等时间间隔内产生的流量的增量比，确切地说，它们构成增量的最初比”，并借助于几何解释把流数理解为增量消逝时获得的最终比。可以看出，牛顿的所谓“首末比方法”相当于求函数自变量与因变量变化之比的极限，它成为极限方法的先导。
牛顿对于发表自己的科学著作持非常谨慎的态度。1687年，牛顿出版了他的力学巨著《自然哲学的数学原理》，这部著作中包含他的微积分学说，也是牛顿微积分学说的最早的公开表述，因此该巨著成为数学史上划时代的著作。而他的微积分论文直到18世纪初才在朋友的再三催促下相继发表。
2．莱布尼茨的微积分工作
莱布尼茨(W.Leibniz,1646-1716)出生于德国莱比锡一个教授家庭，青少年时期受到良好的教育。1672年至1676年，莱布尼茨作为梅因茨选帝侯的大使在巴黎工作。这四年成为莱布尼茨科学生涯的最宝贵时间，微积分的创立等许多重大的成就都是在这一时期完成或奠定了基础。然而，这位博学多才的时代巨人，由于官场的失意、与牛顿关于微积分优先权争论的困绕以及多种病痛的折磨，晚年生活颇为凄凉。据说莱布尼茨的葬礼只有他忠实的秘书参加。
在巴黎期间，莱布尼茨结识了荷兰数学家、物理学家惠更斯(C. Huygens,1629-1695)，在惠更斯的私人影响下，开始更深入地研究数学，研究笛卡儿和帕斯卡(B. Pascal,1623-1662)等人的著作。与牛顿的切入点不同，莱布尼茨创立微积分首先是出于几何问题的思考，尤其是特征三角形的研究。特征三角形在帕斯卡和巴罗等人的著作中都曾出现过。1684年，莱布尼茨整理、概括自己1673年以来微积分研究的成果，在《教师学报》上发表了第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值以及求切线的新方法》（简称《新方法》），它包含了微分记号 以及函数和、差、积、商、乘幂与方根的微分法则，还包含了微分法在求极值、拐点以及光学等方面的广泛应用。1686年，莱布尼茨又发表了他的第一篇积分学论文，这篇论文初步论述了积分或求积问题与微分或切线问题的互逆关系，包含积分符号 并给出了摆线方程：
莱布尼茨对微积分学基础的解释和牛顿一样也是含混不清的，有时他的 是有穷量，有时又是小于任何指定的量然而不是零。
牛顿和莱布尼茨都是他们时代的巨人，两位学者也从未怀疑过对方的科学才能。就微积分的创立而言，尽管二者在背景、方法和形式上存在差异、各有特色，但二者的功绩是相当的。然而，一个局外人的一本小册子却引起了“科学史上最不幸的一章”：微积分发明优先权的争论。瑞士数学家德丢勒在这本小册子中认为，莱布尼茨的微积分工作从牛顿那里有所借鉴，进一步莱布尼茨又被英国数学家指责为剽窃者。这样就造成了支持莱布尼茨的欧陆数学家和支持牛顿的英国数学家两派的不和，甚至互相尖锐地攻击对方。这件事的结果，使得两派数学家在数学的发展上分道扬镳，停止了思想交换。
在牛顿和莱布尼茨二人死后很久，事情终于得到澄清，调查证实两人确实是相互独立地完成了微积分的发明，就发明时间而言，牛顿早于莱布尼茨；就发表时间而言，莱布尼茨先于牛顿。虽然牛顿在微积分应用方面的辉煌成就极大地促进了科学的发展，但这场发明优先权的争论却极大地影响了英国数学的发展，由于英国数学家固守牛顿的传统近一个世纪，从而使自己逐渐远离分析的主流，落在欧陆数学家的后面。
3．18世纪微积分的发展
在牛顿和莱布尼茨之后，从17世纪到18世纪的过渡时期，法国数学家罗尔(M.Rolle,1652-1779)在其论文《任意次方程一个解法的证明》中给出了微分学的一个重要定理，也就是我们现在所说的罗尔微分中值定理。微积分的两个重要奠基者是伯努利兄弟雅各布(Jacob Bernoulli,1654-1705)和约翰(John Bernoulli,1667-1748)，他们的工作构成了现今初等微积分的大部分内容。其中，约翰给出了求 型的待定型极限的一个定理，这个定理后由约翰的学生罗比达(L’Hospital,1661-1704)编入其微积分著作《无穷小分析》，现在通称为罗比达法则。
18世纪，微积分得到进一步深入发展。1715年数学家泰勒(B. Taylor,1685-1731)在著作《正的和反的增量方法》中陈述了他获得的著名定理，即现在以他的名字命名的泰勒定理。后来麦克劳林(C. Maclaurin,1698-1746)重新得到泰勒公式在 时的特殊情况，现代微积分教材中一直将这一特殊情形的泰勒级数称为“麦克劳林级数”。
雅各布、法尼亚诺(G. C. Fagnano,1682-1766)、欧拉(L. Eular,1707-1783)、拉格朗日(J. L. Lagrange,1736-1813)和勒让德(A.M. Legendre,1752-1833)等数学家在考虑无理函数的积分时，发现一些积分既不能用初等函数，也不能用初等超越函数表示出来，这就是我们现在所说的“椭圆积分”，他们还就特殊类型的椭圆积分积累了大量的结果。
18世纪的数学家还将微积分算法推广到多元函数而建立了偏导数理论和多重积分理论。这方面的贡献主要应归功于尼古拉·伯努利(Nicholas Bernoulli,1687-1759)、欧拉和拉格朗日等数学家。
另外，函数概念在18世纪进一步深化，微积分被看作是建立在微分基础上的函数理论，将函数放在中心地位，是18世纪微积分发展的一个历史性转折。在这方面，贡献最突出的当数欧拉。他明确区分了代数函数与超越函数、显函数与隐函数、单值函数与多值函数等，发现了 函数和 函数，并在《无限小分析引论》中明确宣布：“数学分析是关于函数的科学”。而18世纪微积分最重大的进步也是由欧拉作出的。他的《无限小分析引论》（1748）、《微分学原理》（1755）与《积分学原理》（1768~1770）都是微积分史上里程碑式的著作，在很长时间内被当作标准教材而广泛使用。
四．微积分中注入严密性
微积分学创立以后，由于运算的完整性和应用的广泛性，使微积分学成了研究自然科学的有力工具。但微积分学中的许多概念都没有精确的定义，特别是对微积分的基础—无穷小概念的解释不明确，在运算中时而为零，时而非零，出现了逻辑上的困境。正因为如此，这一学说从一开始就受到多方面的怀疑和批评。最令人震撼的抨击是来自英国克罗因的主教伯克莱。他认为当时的数学家以归纳代替了演绎，没有为他们的方法提供合法性证明。伯克莱集中攻击了微积分中关于无限小量的混乱假设，他说：“这些消失的增量究竟是什么？它们既不是有限量，也不是无限小，又不是零，难道我们不能称它们为消失量的鬼魂吗？”伯克莱的许多批评切中要害，客观上揭露了早期微积分的逻辑缺陷，引起了当时不少数学家的恐慌。这也就是我们所说的数学发展史上的第二次“危机”。
多方面的批评和攻击没有使数学家们放弃微积分，相反却激起了数学家们为建立微积分的严格而努力。从而也掀起了微积分乃至整个分析的严格化运动。18世纪，欧陆数学家们力图以代数化的途径来克服微积分基础的困难，这方面的主要代表人物是达朗贝尔(d’Alembert,1717-1783)、欧拉和拉格朗日。达朗贝尔定性地给出了极限的定义，并将它作为微积分的基础，他认为微分运算“仅仅在于从代数上确定我们已通过线段来表达的比的极限”；欧拉提出了关于无限小的不同阶零的理论；拉格朗日也承认微积分可以在极限理论的基础上建立起来，但他主张用泰勒级数来定义导数,并由此给出我们现在所谓的拉哥朗日中值定理。欧拉和拉格朗日在分析中引入了形式化观点，而达朗贝尔的极限观点则为微积分的严格化提供了合理内核。
微积分的严格化工作经过近一个世纪的尝试，到19世纪初已开始见成效。首先是捷克数学家波尔察诺(B. Bolzano,1781-1848)1817年发表的论文《纯粹分析证明》，其中包含了函数连续性、导数等概念的合适定义、有界实数集的确界存在性定理、序列收敛的条件以及连续函数中值定理的证明等内容。然而，波尔察诺的工作长期淹没无闻，没有引起数学家们的注意。
19世纪分析的严密性真正有影响的先驱则是伟大的法国数学家柯西(A-L. Cauchy,1789-1857)。柯西关于分析基础的最具代表性的著作是他的《分析教程》(1821)、《无穷小计算教程》(1823)以及《微分计算教程》(1829)，它们以分析的严格化为目标，对微积分的一系列基本概念给出了明确的定义，在此基础上，柯西严格地表述并证明了微积分基本定理、中值定理等一系列重要定理，定义了级数的收敛性，研究了级数收敛的条件等，他的许多定义和论述已经非常接近于微积分的现代形式。柯西的工作在一定程度上澄清了微积分基础问题上长期存在的混乱，向分析的全面严格化迈出了关键的一步。
柯西的研究结果一开始就引起了科学界的很大轰动，就连柯西自己也认为他已经把分析的严格化进行到底了。然而，柯西的理论只能说是“比较严格”，不久人们便发现柯西的理论实际上也存在漏洞。比如柯西定义极限为：“当同一变量逐次所取的值无限趋向于一个固定的值，最终使它的值与该定值的差可以随意小，那么这个定值就称为所有其它值的极限”，其中“无限趋向于”、“可以随意小”等语言只是极限概念的直觉的、定性的描述，缺乏定量的分析，这种语言在其它概念和结论中也多次出现。另外，微积分计算是在实数领域中进行的，但到19世纪中叶，实数仍没有明确的定义，对实数系仍缺乏充分的理解，而在微积分的计算中，数学家们却依靠了假设：任何无理数都能用有理数来任意逼近。当时，还有一个普遍持有的错误观念就是认为凡是连续函数都是可微的。基于此，柯西时代就不可能真正为微积分奠定牢固的基础。所有这些问题都摆在当时的数学家们面前。
另一位为微积分的严密性做出卓越贡献的是德国数学家魏尔斯特拉斯(W. Weierstrass,1815-1897)，他曾在波恩大学学习法律和财政，后因转学数学而未完成博士工作，得到许可当了一名中学教员。魏尔斯特拉斯是一个有条理而又苦干的人，在中学教书的同时，他以惊人的毅力进行数学研究。由于他在数学上做出的突出成就，1864年他被聘为柏林大学教授。魏尔斯特拉斯定量地给出了极限概念的定义：如果给定任何一个正数 ，都存在一个正数 ，使得对于区间 内的所有的 都有 ，则 在 处连续，如果上述叙述中，用 代替 ，则说 在 处有极限 。这就是今天极限论中的“ ”方法。魏尔斯特拉斯用他创造的一套 语言重新定义了微积分中的一系列重要概念，特别地，他引进的一致收敛性概念消除了以往微积分中不断出现的各种异议和混乱。另外，魏尔斯特拉斯认为实数是全部分析的本源，要使分析严格化，就首先要使实数系本身严格化。而实数又可按照严密的推理归结为整数（有理数）。因此，分析的所有概念便可由整数导出。这就是魏尔斯特拉斯所倡导的“分析算术化”纲领。基于魏尔斯特拉斯在分析严格化方面的贡献，在数学史上，他获得了“现代分析之父”的称号。
1857年，魏尔斯特拉斯在课堂上给出了第一个严格的实数定义，但他没有发表。1872年，戴德金(R. Dedekind, 1831-1916)、康托尔(B. Cantor,1829-1920)几乎同时发表了他们的实数理论，并用各自的实数定义严格地证明了实数系的完备性。这标志着由魏尔斯特拉斯倡导的分析算术化运动大致宣告完成。
五．微积分的应用与新分支的形成
18世纪的数学家们一方面努力探索在微积分中注入严密性的途径，一方面又不顾基础问题的困难而大胆前进，极大地扩展了微积分的应用范围，尤其是与力学的有机结合，其紧密程度是数学史上任何时期都无法比拟的，它已成为18世纪数学的鲜明特征之一。微积分的这种广泛应用成为新思想的源泉，从而也使数学本身大大受益，一系列新的数学分支在18世纪逐渐成长起来。
1．常微分方程与动力系统
常微分方程是伴随着微积分一起发展起来的。从17世纪末开始，摆的运动、弹性理论以及天体力学等实际问题的研究引出了一系列常微分方程，这些问题在当时以挑战的形式被提出而在数学家之间引起激烈的争论。牛顿、莱布尼茨和伯努利兄弟等都曾讨论过低阶常微分方程，到1740年左右，几乎所有的求解一阶方程的初等方法都已经知道。
1728年，欧拉的一篇论文引进了著名的指数代换将二阶常微分方程化为一阶方程，开始了对二阶常微分方程的系统研究。1743年，欧拉给出了 阶常系数线性齐次方程的完整解法，这是高阶常微分方程的重要突破。1774—1775年间，拉格朗日用参数变易法解出了一般 阶变系数非齐次常微分方程，这一工作是18世纪常微分方程求解的最高成就。在18世纪，常微分方程已成为有自己的目标和方向的新数学分支。
18世纪，在处理更为复杂的物理现象时得到了偏微分方程，到了19世纪，数学家们求解偏微分方程的努力导致求解常微分方程的问题，且所得到的常微分方程大都是陌生的。对这些微分方程，数学家们便采用无穷级数解，即现在所谓的特殊函数或高级超越函数。
对18、19世纪建立起来的众多的微分方程，数学家们求显式解的努力往往归于失败，这种情况促使他们转向证明解的存在性，这也是微分方程发展史上的一个重要转折点。最先考虑微分方程解的存在性问题的数学家是柯西，18世纪20年代，他给出了形如 的常微分方程的第一个存在性定理。
19世纪后半叶，常微分方程的研究在两个大的方向上开拓了新局面。第一个方向是与奇点问题相联系的常微分方程解析理论，它是由柯西开创的。柯西之后，解析理论的重点向大范围转移，到庞加莱(J.H.Poincare,1854-1912)与克莱因(F.Klein,1849-1925)的自守函数理论而臻于颠峰。庞加莱在1824—1884年间建立了这类函数的一般理论。另一个崭新的方向，也可以说是微分方程发展史上的又一个转折点，就是定性理论，它完全是庞加莱的独创。庞加莱由对三体问题的研究而被引导到常微分方程定性理论的创立。他从形如
的非线性方程出发，发现微分方程的奇点起着关键作用，在讨论各种奇点附近的性状的同时，还发现了一些与描述满足微分方程的解曲线有关的重要的闭曲线如极限环、无接触环等。在数学科学中，极限环具有重要意义，科学技术和实际社会活动也都强烈要求对极限环进行研究。形如
的非线性微分方程最多有几个极限环，其中 为次数不高于 的多项式，在1900年的国际数学家大会上，希尔伯特(D.Hilbert,1862-1943)作为23个问题中第十六个问题的后一半提出来，这个问题难住了当代所有的数学家，即使 的情形也尚未解决。庞加莱关于在奇点附近积分曲线随时间变化的定性研究，在1892年以后被俄国数学家李亚普诺夫发展到高维一般情形而形成专门的“运动稳定性”分支，他提出的李亚普诺夫函数和李亚普诺夫指数概念意义极为重要。李亚普诺夫的工作使微分方程的发展呈现出一个全新的局面。
庞加莱关于常微分方程定性理论的一系列课题，成为微分动力系统的出发点。美国数学家伯克霍夫(D.Birkhoff,1884-1944)从1912年起以三体问题为背景，扩展了动力系统的研究，1937年，庞特里亚金提出结构稳定性概念，要求在微小扰动下保持相图不变，使动力系统的研究向大范围转化。动力系统的研究由于拓扑方法和分析方法的有力结合而取得了重要进步，借助于现代计算机模拟又引发具有异常复杂性的混沌、分叉、分形理论这方面的研究涉及到众多的数学分支。
2．偏微分方程
微积分对力学问题的应用引导出另一门新的数学分支—偏微分方程，1747年，达朗贝尔发表的论文《张紧的弦振动时形成的曲线的研究》被看作是偏微分方程论的开端。论文中，达朗贝尔明确导出了弦的振动所满足的偏微分方程，并给出了其通解。1749年，欧拉发表的论文《论弦的振动》讨论了同样的问题，并沿用达朗贝尔的方法，引进了初始形状为正弦级数的特解。18世纪，计算两个物体之间的引力问题，引出另一类重要的偏微分方程—位势方程，它是1785年拉普拉斯(P.S.Laplace,1749-1827)在论文《球状物体的引力理论与行星形状》中导出的，现在通常称为“拉普拉斯方程”。
随着物理学所研究的现象从力学向电学以及电磁学的扩展，到19世纪，偏微分方程的求解成为数学家和物理学家关注的重心。1822年，法国数学家傅立叶(J.Fourier,1768-1830)发表的论文《热的解析理论》，研究了吸热或放热物体内部任何点处的温度变化随时间和空间的变化规律，导出了三维空间的热传导方程：
傅立叶解决了特殊条件下的热传导问题，也就是满足边界条件和初始条件的偏微分方程的求解。并且得到结论：可以将区间 上的任何函数表示为我们通常所称的傅立叶级数。但他没有给出任何完全的证明。
英国数学家格林(G.Green,1793-1841)19世纪是研究偏微分方程中位势方程的重要代表人物。他用奇异点方法研究了位势方程，并在1828年出版的小册子《关于数学分析应用于电磁学理论的一篇论文》中建立了许多对于推动位势理论的进一步发展极为关键的定理和概念，其中以格林公式
和作为一种带奇异性的特殊位势的格林函数概念影响最为深远。
19世纪导出的著名偏微分方程还有麦克斯韦电磁场方程、粘性流体运动的纳维—司托克斯方程以及弹性介质的柯西方程等，所有这些方程都不存在普遍解法。
和常微分方程一样，求偏微分方程显式解的失败，促使数学家们考虑偏微分方程解的存在性问题。柯西也是研究偏微分方程解的存在性的第一人。柯西的工作后被俄国女数学家柯瓦列夫斯卡娅发展为非常一般的形式，现代文献中称有关的偏微分方程解的存在唯一性定理为“柯西—柯瓦列夫斯卡娅定理”。柯瓦列夫斯卡娅是历史上第一位女数学博士，历史上为数不多的杰出女数学家之一，也是历史上第一位女科学院院士，为此俄国科学院还专门修改了院章中不接纳女性院士的规定。
3．变分法
变分法起源于“最速降线”和其它一些类似的问题。“最速降线”问题最早是约翰伯努利1696年6月在《教师学报》上提出来向其他数学家挑战的。问题提出后半年没有回音，1697年元旦他发表公告再次向“全世界最有才能的数学家”挑战。牛顿、莱布尼茨、罗比达和伯努利兄弟几乎同时得到了正确答案，所有这些解法都发表在1697年5月的《教师学报》上。他们的这些工作与同时期出现的等周问题、测地线问题等一道标志着一门新数学分支—变分法的诞生。
变分法处理的是一个与通常函数有本质区别的变量
的极大或极小值问题。1744年欧拉在著作《求某种具有极大或极小性质的曲线的技巧》一书中，给出了一般的处理方法，奠定了变分法的独立基础。他将取极值问题看作通常极值的极限情形，从而导出了使 达到极值的函数 所必须满足的必要条件，即二阶常微分方程
该方程现称为“欧拉方程”，它是变分法的基本方程。1760年，拉哥朗日的《论确定不定积分式的极大和极小值的一个新方法》在纯分析的基础上建立了变分法。他还第一次成功地处理了端点变动的极值曲线问题和重积分情形，研究了被积函数中含有高阶导数的变分问题。
19世纪，起源于动力学的“最小作用原理”刺激了变分法的进一步发展，这一时期，雅可比、魏尔斯特拉斯以及希尔伯特等都为变分法作出了重要贡献。
在18世纪，微分方程、变分法等一些新的分支和微积分本身一起，形成了被称之为“分析”的广大领域。
4．分析的扩展与更高的抽象
复变函数论。19世纪分析的严格化成为这个时代的特点，但是，加固基础的工作并没有影响到19世纪的分析学家们进一步拓广自己的领域。在18世纪，达朗贝尔和欧拉等数学家在他们的工作中已经大量使用复数和复变量，并由此发现了复函数的一些重要性质。
直到19世纪初，复数的“合法性”仍是一个未解决的问题。复分析真正成为现代分析的一个研究领域，主要是19世纪通过柯西、黎曼(B.Riemann,1826-1866)和魏尔斯特拉斯等人的工作建立和发展起来的。1825年，柯西出版的小册子《关于积分限为虚数的定积分的报告》可以看作是复分析发展史上的一个里程碑，其后他又发表了一系列关于复变函数的论文，得到了复变函数的许多重要结果。1851年，黎曼的博士论文《单复变函数的一般理论的基础》是复变函数论的一篇基本论文，其中最主要的特征是它的几何观点，这里黎曼引入了一个全新的几何概念，即黎曼曲面。这篇论文不仅包含了现代复变函数论主要部分的萌芽，而且开启了拓扑学的系统研究，并为黎曼自己的微分几何研究铺平了道路。当柯西在由解析式表示的函数的导数和积分的基础上建立函数论的同时，魏尔斯特拉斯却为复变函数开辟了一条新的研究途径，他在幂级数的基础上建立起解析函数的理论，并建立起解析开拓的方法。后来，柯西、黎曼和魏尔斯特拉斯的思想被融合在一起，三种传统得到统一。
20世纪，单复变函数论由于新工具的引入取得了长足的进展，并由单变量推广到多变量的情形。20世纪下半叶，由于综合运用拓扑学、微分几何、偏微分方程论以及抽象代数等领域的概念与方法，多复变函数论的研究取得了重大突破。1953年，中国数学家华罗庚建立了多个复变数典型域上的调和分析理论，并揭示了其与微分几何、群表示论、微分方程以及群上调和分析等领域的深刻联系，形成了中国数学家在多复变函数论研究方面的特色。
微分几何。18世纪，分析方法应用于几何开拓了一个崭新的几何分支—微分几何。欧拉是微分几何的重要奠基人，他的《关于曲面上曲线的研究》（1760）被公认为是微分几何史上的一个里程碑。而蒙日(G.Monge, 1746-1818)的工作使18世纪微分几何的发展臻于颠峰。1795年，他发表的《关于分析的几何应用的活页论文》是第一部系统论述微分几何的著述，极大地推进了克莱洛(A.C.Clairaut,1713-1765)和欧拉的空间曲线与曲面理论，其最大特点是与微分方程的紧密结合。
古典微分几何多是局部性即小范围的。到了20世纪，微分几何开始经历从局部到整体的转移，整体微分几何成为研究的重心。中国数学家陈省身在这方面做了奠基性的贡献，并因此获得1984年的沃尔夫奖。另一位中国数学家丘成桐也因为解决了微分几何领域里著名的“卡拉比猜想”、解决了一系列与非线性微分方程有关的其它几何问题，以及证明了广义相对论中的正质量猜想等杰出工作，而荣获1982年的菲尔兹奖。
实变函数论。19世纪末，分析的严格化迫使许多数学家认真考虑所谓的“病态函数”，特别是不连续函数和不可微函数，并研究这样一个问题：积分的概念可以怎样推广到更广泛的函数类上去。1902年，法国数学家勒贝格(H-L.Lebesgue,1875-1941)在其发表的论文《积分，长度与面积》中利用以集合论为基础的“测度”概念而建立了所谓的“勒贝格积分”，使一些原先在黎曼意义下不可积的函数按勒贝格的意义变得可积。在勒贝格积分的基础上进一步推广导数等其它微积分基本概念，并重建微积分基本定理等微积分的基本事实，从而形成了一门新的数学分支—实变函数论。
实变函数论是普通微积分的推广，它使微积分的适用范围大大扩展，引起数学分析的深刻变化。作为分水岭，人们往往把勒贝格以前的分析学称为经典分析，而把由勒贝格积分引出的实变函数论为基础而开拓出来的分析学称为现代分析。
泛函分析。数学中许多领域处理的都是作用在函数上的变换或算子，如变分法的典型问题求积分
的极值， 就可以看作是“函数的函数”，也就是所谓的“泛函”。泛函分析的抽象理论是19世纪末20世纪初由意大利数学家和法国数学家阿达马(J-S.Hadamard,1865-1963)在变分法的研究中开始的，而第一个为此做出卓越成果的是法国数学家弗雷歇(M-R.Frechet,1878-1973)，在1906年的博士论文中，弗雷歇给出了泛函分析的一些基本概念，并在将普通的微积分演算推广到函数空间方面做了大量先驱性工作，因此，弗雷歇是本世纪抽象泛函分析理论的奠基人之一。
20世纪初数学家希尔伯特、里斯(F.Riesz)以及费舍尔(E.Fisher)等都为泛函分析的发展做出了重要贡献。而抽象空间理论与泛函分析在20世纪上半叶的巨大发展则是由波兰数学家巴拿赫(S.Banach,1892-1945)推进的，1922年，他提出了比希尔伯特空间更一般的赋范空间—巴拿赫空间，极大地拓广了泛函分析的疆域。巴拿赫还建立了巴拿赫空间上的线性算子理论，证明了一批泛函分析基础的重要定理。巴拿赫无疑也是现代泛函分析的奠基人。泛函分析有力地推动了其它分析分支的发展，使整个分析领域的面貌发生了巨大变化。泛函分析的观点与方法还广泛地渗透到其它科学和技术领域。
原始的数学思想，来源于人的直觉
pHonE 发表于 2007-11-15 17:42:08
-- 最近因为工作关系，看了一些数学书。
我以TAMU的两位教授所著的一本小书为例发表一些浅见。
该书名为A First Course in Wavelets with Fourier Analysis. (国内有电子工业出版社的影印版本）
一 背景 傅立叶分析是所有理工科学生都多少知道一点的，傅立叶分析的主要内容有傅立叶级数；傅立叶变换等。傅立叶级数是所有学过工科高等数学课程的学生都 知道的。而作为电子工程系的学生，对傅立叶分析的掌握程度基本决定了他的信号处理的 水平。傅立叶分析是调和分析的一个总要分支。最早的三角级数展开是由于解偏微分方 程的需要，在18世纪由法国的工程师兼学者Fourier在其名著热的解析理论 中 予以详细讨论的。实际上，三角级数展开不仅在实用中有重大意义，而且对于现 代数学的发展，都深具影响。实变函数论的开创者Lebesgue（1875年生）最早就是通过研究三角级数从而提出明晰的测度概念并将黎曼积分扩充为Lebesgue积分，从而大大扩充可积函数的范 围的。 三角级数还是产生很多病态函数的温床。比如1872年，魏尔斯特拉斯就利用三角级数构造出f(x)=sigma[b^n * cos(a^n*pi*x)]（对 n＝0，1，。。。求和）。此函数就是一个处处连续但处处不可导的函数。 而正是对病态函数的研究促成了数学分析的革命。
二 对"分析"的分析 目前国内工科学生学习的数学主要有： 高等数学（主要是18世纪前的一些数学分析的内容，包括一些解析几何） 线性代数概率统计 复变函数 积分变换 后四门课的名字很明确，基本反映了内容。 但是高等数学这个名字就显得非常含混，究竟什么叫高等数学呢？实际上正如我前面所说，主要包含一些分析的老的内容。 我现在要问的是，为什么数学分析叫做数学分析？这个问题若搞清楚，就可以从本质上把握数学分析的体系，而不是在那里被动的被胡涂先生带着做模仿动作了 （陈文灯这种人是要害死中国一代青年的！学数学决不是模仿！！而是要有高屋建瓴的把握）。
我沿着西方的分析思想，对"分析"二字结合数学分析的内容做一个分析。如果有人复习数学的话，我下面的一段话对他肯定会大有用处，能否消受，要看 自己的造化了。 分析的英文原文是：analysis MW字典对其原意的解释是， separation of a whole into its component parts. 汉语的分析，我们要分析成两个字，第一个字是分，第二个字是析。 据金山词霸。分的本意是：(会意。从八,从刀。"八"就是分;从"刀",是以刀剖物,使之分开 的意思。 本义:一分为二) 析的本意是：(会意。从木,从斤。用斧子劈开木头。本义:劈,劈木头) 这两个字都是会意字 所以analysis汉语翻译做"分析"是恰当的。当然分析一词还有引申义， "将事物、现象、概念分门别类,离析出本质及其 内在联系" 有了以上的认识，我们可以来探讨数学分析的主要任务了。（正是这些任务使 得数学分析成为一个整体，而不是分立概念的罗列）从集合，映射的观点来看（这些都是19世纪，20世纪的一些观念） 数学分析的主要对象是定义域，值域均是实数集合子集的映射(这种映射基本就是所谓实变函数的范围，实变函数是一种特殊的函数，而函数是数集间的映射）， 所以换句话数学分析的对象是函数，数学分析也可以叫做函数分析。
对于函数的分析，可以有引申意义上的分析，也可以有本意上的分析。大家多侧重于对引申意义的分析，对本意反倒忽略了。下面的一些分析都是我们所熟知的 引申意义上的分析。 比如研究了四种特殊的函数性质 1 周期性 2 奇偶性 3 有界性 4 单调性。 这四种特性都是几何上非常直观的。（在数学分析发展的早期，直观是指引人前 进的很好工具）注意到，在中学利用初等的工具研究了六种初等函数（常数，幂，指，对，三角，反三角）的某些简单性质（注意简单二字，初等函数的许多性质用初等方法研究 需要相当的技巧，或者说没有一般的规律可循，据说阿基米德在求球体的体积的时候，就求过几个特殊的简单积分，但是他当时当然没有微积分的明确概念，可 见利用初等数学的工具解决复杂的难题需要专家的技巧，而数学家的任务是寻求一类问题的规律，或者说是寻求求解过程的公式化和机械化）。
实际上，对大多数函数，用初等数学的方法分析，都很难得出深刻的结论。大家 可能记得在高中为了求出一个函数的极值需要多大的技巧。人类得到比较明晰的极限的概念，花掉了大约2000年的时间，到了牛顿和莱布尼茨的时代，才有了比较明确（但是离严密还差的很远）的极限概念。正是极限的 概念刷新了分析数学的历史，自从极限的概念被确立后，微积分的概念才有了比较合理的基础，这为函数的分析（数学分析的内容）提供了有力的工具。
有了极限的工具，就可以研究函数在局部和无穷远处的发展趋势，这就是从动态的角度研究函数了。我们知道求极值是对函数分析的重要内容。显然，了解函数 值的变化趋势，对求函数的极值肯定是有好处的。有了极限的概念，就可以刻划函数的发展趋势。实际上刻划像相对原像变化率的一个很有用的工具就是一个特 殊的极限－－导数。
有了导数，当然可以继续研究高阶导数。 在有了导数以后，为了沟通函数与其各阶导数的性质，就有了中值定理。（我现 在还有疑问，中值定理的出现是否是一种必要性的推动，还是纯理性思考的产物），这些中值定理主要是由法，德两国人创立。
我们可以看看中值定理提出者德生卒年，这样可以给我们重要的启示。（依照逻 辑顺序排列）
1 费马定理 Fermat 1601-1665
2 罗尔定理 Rolle 1652-1719（标准教科书证明利用了费马定理）
3 拉各朗日 1736-1813（证明利用了罗尔定理）
4 柯西 1789－1857（证明利用了拉各朗日 定理）
5 落笔大 1661－1704（证明利用了柯西定理）
6 泰勒 1685－1731（证明利用了柯西定理）
现在我们能够看到明确的问题了!
1 从罗尔定理到拉各朗日几乎用了50年以上的时间（由于缺乏详细的史料，我们自能根据生卒年大致分析），从拉各朗日到柯西也大概用了50年时间。 启发：我们往往惊叹于数学教材的严密和体系宏伟，但是事实证明，就是这几个中值定理，就花了人类100年的时间（请考虑世界上研究数学的人的数目），我们所看到的逻辑严谨，周密都不过是对历史整理后的假相。当然时代进化到21世纪， 我们不能用18世纪的速度要求人类和自己）。
2 落笔大，泰勒出生都比柯西早100年，何以他们提出的中值定理的证明却利用了 未出生的人的定理呢？对这个问题，我们可以肯定的是：泰勒的原始证明，落笔大的原始论证都没有用到柯西定理！！而现在我们所看到的证明是数学史家在对历史进行梳理后的产物！ 泰勒，落笔大所用的概念肯定比柯西原始，可能还非常不严密。这两点对我们的总的启示是， 即使是世界上第一流的头脑，也难以在短时间内创造非常严密的系统的理论。我们中国的教材在物理，化学上提及了历史但是在数学上却忽略了。 当年我在学习数学分析的时候就非常自卑，为什么别人能够创造这样美妙的体系，而我们就不行。现在终于明白了。
第二点，数学的发展史使我倾向于直觉主义的数学哲学，也就是原始的数学思想，来源于人的直觉，尽管这些直觉在天才的脑子里面往往是粗糙的，正如钻石不经 打磨不能耀眼一样。我们应该知道（却没有被老师告知和教材教知）牛顿的原始的微积分概念是非常含混的和没有稳固基础的。牛顿对无穷小和无限本身就不够 清晰（考虑到他是几百年前的大哥，饶了他），贝克莱大主教攻击牛顿的无穷小概念在哲学上站不住脚，马克思也抱怨牛顿对高阶无穷小的无端忽略是"暴力镇压"。我们所熟知的yipusilon－delta法则是柯西在牛顿身后几百年才提出的，而对实数集合连续性的讨论是由魏而斯特拉是， cantor等人完善的，没有上述理论，牛顿的理论是非常不严密的。我们看到的数学大厦曾经经历了多少次的危机。甚至到今日，数学的基础仍存在严重的危机！！
三 在数学教材中，除了摆事实（用公里化的方法把文章做得花团锦簇一般）自能使学生成为可怜虫，在事后诸葛亮们得整理下，本来令人佩服得天才成了高不可 攀的神袛。严重打击学生的兴趣和自信。而对历史发展进程的整理也歪曲了数学发展的真相，使得历史发展的进程被抹煞，本来自然的，可以理解的idea的发展成为高不可攀的绝妙证明。学生成为一个袖手旁观者，而不是一个数学发展的见 证人和参与者。而我们中国需要的更多的就是这种开拓性人才！！有了微分，按照惯例，就应该考虑其逆运算。这就是所谓不定积分。这是容易理 解的。对初等函数的研究也是顺理成章的。
许多学生不都把定积分和不定积分混为一谈，认为定积分不过是对不定积分的求 值。但是如果概念清晰的话。不定积分应该是微分的逆算子。这是逻辑上的必然延续。 但是定积分（严格说是黎曼积分）可以认为是部分和的极限，这种积分可以认为是从几何直观上求解实际问题时得出的。这样看来，利用部分和极限求级数的和 就本来不是一种技巧，而是当然了）。
我们知道，黎曼积分对可积函数的要求是比较苛刻的，由于在历史上，先研究的函数都是一些比较漂亮的函数，所以在当时，并没有问题。但是乐贝格出世后， 却在逆反心理的引导下，研究那些性质不那样漂亮的函数（比如狄里赫莱函数，还有上面提到的维尔斯特拉斯提出的病态函数。）这样就使得测度的概念进一步明晰。对区间长度的衡量由一个原始的概念过渡到（进化到）集合测度的概念。（cantor的集合论研究大概和乐贝格相距不远） 这就是积分的概念。在积分概念后，数学分析研究了级数。（实际上由于数列是一种特殊形式的函数， 定义域为散点，级数可以认为是积分概念的离散形式）。对级数的研究分为常项级数和函数级数。其中非常总要的就是三角级数。 实际上在这里，我们可以在分析的本源意义上了解为什么分析叫分析。
回到MW字典的定义： separation of a whole into its component parts. 我们可以在原意上理解这句话。 数学分析的对象是函数。我们把上述定义中的a whole换做函数function看看。 separation of a function into its component parts. 事情清楚了，数学分析在本源意义上的理解就是对函数进行分解，分解成需要的 部件。我们研究了幂级数，就是将函数展开成多项式的形式的函数分量（或部件）的和。比如泰勒级数，从中值定理就很自然得出。这在计算数学上也是有意义的。因为 幂级数大多收敛很快，而且易于用算法描述。
研究了幂级数后，又研究了三角级数展开，这次也是没头没脑，为什么要展开呢。傅立叶的热学分析表明这样展开是有益的。我们可以看到三角级数的展开出奇的 简洁，就像神话一样！！！难道这些家伙就这么聪明？他们怎么晓得这么搞？（同样是历史的歪曲令人费解，傅立叶之制造三角级数是从研究偏微分方程起步 的，在那种特殊的背景下，相对还是比较自然的）。其实数学分析的主要内容就是这些（微分方程是另外一门单独学问），多重积分 实际上只是上述基本想法的自然衍生而已，大多数问题二流数学家足以完成。
我们现在知道数学分析是对初等数学的一次抽象，现在要问的就是对数学分析的再次抽象的结果如何，这就要求我们把数学分析中的对象仍看作特例，去寻求更 一般的规律。以傅立叶级数为例。如果把三角级数展开看作特例，我们可以抽出三角级数展开 的关键性质－－正交性。在这种宏观视角下，我们可以把函数看成集合或空间中的点，而把级数的正交标准基函数看作直角坐标。从而把函数的三角展开看成是 对点在正交系中求坐标。（傅立叶系数就是坐标）这样函数本身就成为了一个点，可以与复平面的向量类比（我们在这里又要感谢 法国的天才笛卡儿）他天才的将坐标系设计成正交的。为什么呢？）我们现在可以回答这个问题，为什么直角坐标系是直角的，或者说是正交的分解。 在内积空间中可以很容易的看出这个问题。正交系相对于一般的基而言使用起来是无比的方便。 我们看出正是从数学分析中的特殊概念进行进一步抽象，我们得到了更好的理解，由天才构做的特例中导出一般的概念，是另一类数学家（称之为整理家）的重要 工作。
在20世纪，法国的数学继续称雄全球，其中的布尔坝基学派就是能够从抽象的角度整体思考数学的一群年轻数学家。我们容易发现，法兰西民族的优秀的抽象能 力和总多的天才人物为数学的发展做出了巨大的贡献。这一贡献，除了德国和欧陆的其他几个国家能够比拟以外，连英国都不能够比拟。 我们说，第一流的数学家是那些能够提出原始概念，开创新的思路的科学家。比如欧氏几何之余欧几里的； 微积分之于牛，莱； 解析几何之于笛卡儿； 拓扑学之于庞卡来； 泛函分析之于乐贝格，banach。 cantor之于集合论。 群论之于伽罗华（真正的天才！！！同样是伟大的法兰西人）。 同样那些具有非凡直觉的数学家也是第一流的比如高斯，黎曼（猜想）等。 很遗憾的，我们中国的本土数学家大概都是在西方人创造的数学空间中去工作。有些人能解决西方人出的题目，但是很少有人能开创新的局面。
陈省身先生希望21世纪中国能够成为能与西方诸重要国家平等对话的数学大国。在我们国内的普遍教育模式下，我认为这个希望在本世纪上半叶实现还是有困难。 我们现在的这种教材是培养中才使用的，而对于培养上才则不合理。不仅内容陈旧（现在在研究生层次开设泛函分析课作为对微积分的延续，但是鲜 有老师能够讲的精彩，学生能够真正领会实质的），而且教育方法严重失败。教材成了定理的罗列。而对定理的逻辑关系，来龙去脉，根本不提，完全是从应 用的角度去教学，根本没有指望学生能够参与数学发展的进程（老师就大多是虫一样的混混人物，怎么想得到培养学生成龙？）。 实际上，现在日本的数学比中国要好。日本数学家里面得大奖的很不少。（不过日本人现在也没有出现能开创新学科的人）
这种局面反映在计算机科学领域也是这样。对操作系统的研发是由西方人作。对高级语言的定义中国人无缘置喙。中国人忙于学习用别人定义的高级语言和提供 的编译器，开发工具，在别人的操作系统和开发平台上做应用级为主的开发。（即使现在所谓的龙心，汉芯都出世了，但是我们大家都知道这不过是一些海龟 从他们的国外老师的实验室里面clone过来的，在概念上并无重大突破）。在信号处理领域，我们中国人做信号处理也有几十年了。就没有一个人能够在看出傅立叶分析不足的前提下，做出小波分析的雏形。而在不同领域西方人在20世 纪提出大约17种不同的小波雏形。
如果继续延续这种状况，我可以肯定的说，这个民族没有希望！！ 创新不是空喊，创新需要环境。培养具有创新精神的大学生，我们需要有好的教授和教材。我们需要有具有挑战 性的问题。我们需要摆脱针对就业压力而学的所谓实用技术（糊口技术）（起码针对部分学生应该如此）或埋头做考研的准备。 我们需要一流教授讲基础课，我们需要给一流研究者提供衣食无忧的条件，让他们的头脑去考虑一些有价值的问题，不要让奔驰车拉大白菜了！！
该觉醒了！！把目光放远一点吧。。。
